胖博士奧數:最大公因數與最小公倍數裡的分類討論法 - 胖博士奧數...

2021-01-11 胖博士奧數課堂

今天分享的題目如下：

兩個自然數的和是60，它們的最大公因數與最小公倍數的和是84，求這兩個數。

分析：設兩數為ka與kb（a、b互質，a>b，k為正整數）

則兩數最大公因數為k，最小公倍數為kab

則ka+kb=k（a+b）=60

kab+k=k（ab+1）=84

說明k是60與84的公因數

60=2×2×3×5，84=2×2×3×7

他們的公因數有1、2、3、4、6、12

（1）如果k=1，則a+b=60，ab+1=84，ab=83，（a-b）2=（a+b）2-4ab=3268，不是完全平方數，所以無整數解

（2）如果k=2，則a+b=30，ab+1=42，ab=41，（a-b）2=（a+b）2-4ab=736，不是完全平方數，所以無整數解

（3）如果k=3，則a+b=20，ab+1=28，ab=27，（a-b）2=（a+b）2-4ab=292，不是完全平方數，所以無整數解

（4）如果k=4，則a+b=15，ab+1=21，ab=20，（a-b）2=（a+b）2-4ab=145，不是完全平方數，所以無整數解

（5）如果k=6，則a+b=10，ab+1=14，ab=13，（a-b）2=（a+b）2-4ab=48，不是完全平方數，所以無整數解

（6）如果k=12，則a+b=5，ab+1=7，ab=6，（a-b）2=（a+b）2-4ab=1，所以a-b=1，所以a=3，b=2，兩數為3×12=36與2×12=24

視頻解答如下：

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