望月「摘月」

ABC 猜想的重要性可能僅次於黎曼猜想。望月新一的論文超過500 頁，目前數學界幾乎無人能懂。

望月新一對ABC猜想的證明如果得到認可，將會是二十一世紀最偉大的數學成就之一。

由前三個英文字母拼合而成的「ABC」一詞據說自十三世紀起便見諸文獻，含義為「入門」。這些年隨著英語在中國的流行，該詞在中文世界裡也奪得了一席之地，出現在了很多圖書的書名之中，大有跟中文詞「入門」一較高下之勢。不過，倘若你在數學文獻中看到一個以「ABC」命名的猜想——ABC猜想，千萬不要以為那是一個「入門」級別的猜想。事實上，這一猜想在公眾知名度方面或許尚處於「入門」階段，以難度和地位而論卻絕不是「入門」級別的。

2012年9月初，包括《自然》、《科學》在內一些重量級學術刊物，以及包括《紐約時報》在內的許多著名媒體紛紛報導了有關ABC猜想的消息，使這一猜想著實風光了一番。

在本文中，我們將對這一併非「入門」級別的猜想做一個「入門」級別的介紹。

不是入門級猜想

ABC猜想是由英國數學家麥瑟爾和法國數學家厄斯特勒於二十世紀八十年代中期彼此獨立地提出的。其名字乃是來自把猜想中涉及的三個數字稱為A、B、C的做法，而非「入門」之意。

與數學猜想大家庭中的著名成員，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，以及（已被證明了的）曾經的費馬猜想、四色猜想等等相比，ABC猜想的「資歷」是很淺的（其它那些猜想都是百歲以上的「老前輩」），公眾知名度也頗有不如，但以重要性而論，則除黎曼猜想外，上述其它幾個猜想都得退居其後。

ABC猜想有一個初看起來並不奧妙的特點，就是將整數的加法性質（比如A+B=C）和乘法性質（比如素數概念——因為它是由乘法性質所定義的）交互在了一起。不過，數學家們早就知道，由這兩種本身很簡單的性質交互所能產生的複雜性是近乎無窮的。數論中許多表述極為淺顯，卻極難證明的猜想（或曾經的猜想），比如前面提到的哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、費馬猜想等都具有這種加法性質和乘法性質相交互的特性。

數論中一個很重要的分支——旨在研究整係數代數方程的整數解的所謂丟番圖分析——更是整個分支都具有這一特性。丟番圖分析的困難性是頗為出名的，著名德國數學家希爾伯特曾樂觀地希望能找到其「一攬子」解決方案，可惜這個希望後來落了空，被證明是不可能實現的。與希爾伯特的樂觀相反，美國哥倫比亞大學的數學家戈德菲爾德曾將丟番圖分析比喻為飛蠅釣——那是發源於英國貴族的一種特殊的釣魚手法，用甩出去的誘餌模擬飛蠅等昆蟲的飛行姿態，以吸引兇猛的掠食性魚類，特點是技巧高、難度大、成功率低，而且只能一條一條慢慢地釣（象徵著丟番圖分析只能一個一個問題慢慢地研究）。

但是，與交互了加法性質和乘法性質的其它猜想或問題不同的是，ABC猜想似乎處於某種中樞地位上，它的解決將直接導致一大類其它猜想或問題的解決。

拿丟番圖分析來說，戈德菲爾德就表示，假如ABC猜想能被證明，丟番圖分析將由飛蠅釣變為最強力（乃至野蠻）的炸藥捕魚，一炸就是一大片，因為ABC猜想能「將無窮多個丟番圖方程轉變為單一數學命題」。

這其中最引人注目的「戰利品」將是曾作為猜想存在了三百多年，一度被《金氏世界紀錄》稱為「最困難數學問題」的費馬猜想。這個直到1995年才被英國數學家懷爾斯以超過100頁的長篇論文所解決的猜想在ABC猜想成立的前提下，將只需不到一頁的數學推理就能確立。其它很多長期懸而未決的數學猜想或問題也將被「一鍋端」。這種與其它數學命題之間的緊密聯繫是衡量一個數學命題重要性的首要「考評」指標，ABC猜想在這方面無疑能得高分——或者用戈德菲爾德的話說，是「丟番圖分析中最重要的未解決問題」，「是一種美麗」。

ABC猜想的重要性吸引了很多數學家的興趣，但它的艱深遲滯了取得進展的步伐。與數學家們的努力平行，自2006年起，由荷蘭萊頓大學數學系牽頭，一些數學和計算機愛好者建立了一個名為ABC@Home的分布式計算系統，用以尋找ABC猜想所允許的那些反例。截至2012年9月，該系統已經找到了超過2300萬個反例，而且還在以每天幾萬個的速度穩定增加著。

不過，與這一系統的著名「同行」——比如尋找外星智慧生物的SETI以及計算黎曼ζ函數非平凡零點的（現已關閉了的）ZetaGrid——不同的是，ABC@Home是既不可能證明，也不可能否證ABC猜想的（因為ABC猜想本就允許數量有限的反例）。從這個意義上講，ABC@Home的建立更多地只是出於對具體反例——尤其是某些極端情形下的反例，比如數值最大的反例——的好奇。當然，具體反例積累多了，是否會衍生出有關反例分布的猜想，也是不無趣味的懸念。另外，ABC猜想還有一些拓展版本，比如對某些情形下的反例數目給出具體數值的版本，ABC@Home對那種版本原則上是有否證能力的。

日本數學家望月新一

望月新一其人

如前所述，2012年9月初，由於媒體的廣泛報導，ABC猜想在短時間內風光了一番。促成這一風光的是日本數學家望月新一。2012年8月底，望月新一發表了由四篇長文組成的系列論文的第四篇，宣稱證明了包括ABC猜想在內的若干重要猜想。這一宣稱被一些媒體稱為是能與1993年懷爾斯宣稱證明費馬猜想，以及2002年佩雷爾曼宣稱證明龐加萊猜想相提並論的事件。

望月新一1969年3月29日出生於日本東京，16歲進入美國普林斯頓大學就讀本科，三年後進入研究生院，師從著名德國數學家、1986年菲爾茨獎得主法爾廷斯，23歲（即1992年）獲得數學博士學位。此後，他先是「海歸」成了京都大學數理解析研究所的研究助理，幾個月後又前往美國哈佛大學從事了近兩年的研究，然後重返京都大學。2002年，33歲的望月新一成為了京都大學數理解析研究所的教授。望月新一的學術聲譽頗佳，曾獲得過日本學術獎章等榮譽。

在ABC猜想並不漫長的歷史中，這並不是第一次有人宣稱解決了這一猜想。2007年，法國數學家施皮羅就曾宣稱過解決了ABC猜想。施皮羅的學術聲譽不遜於望月新一，不僅是領域內的專家，其工作甚至間接促成了ABC猜想的提出。但是，人們很快就在他的證明中發現了漏洞。這種宣稱一個重大數學猜想被證明，隨後被發現漏洞的例子在數學史上比比皆是。因此，任何證明從宣稱到公認，必須經過同行的嚴格檢驗。這一檢驗視證明的複雜程度而定，可長可短。對於望月新一的「粉絲」來說，恐怕得有長期等待的心理準備。

論文幾乎無人能懂

望月新一那四篇論文的總頁數超過了500頁，幾乎是懷爾斯證明費馬猜想的論文長度的四倍！更糟糕的是，望月新一的證明採用了他自己發展起來的數學工具，這種工具據說是對以抽象和艱深著稱的1966年菲爾茨獎得主格羅滕迪克的某些代數幾何方法的推廣，除他本人外，數學界並無第二人通曉。

就連研究方向與望月新一相近的英國劍橋大學的韓國數學家金明迥都表示，「我甚至無法對證明給出一個專家概述，因為我並不理解它」，「僅僅對局勢有一個一般了解也得花費一段時間」。美國威斯康星大學的數學家艾倫伯格則表示閱讀望月新一的論文「仿佛是在閱讀外星人的東西」。2006年菲爾茨獎得主、澳大利亞數學家陶哲軒也表示「現在對這一證明有可能正確還是錯誤做出評斷還為時過早」。

像望月新一那樣宣稱用自創的數學工具證明著名數學猜想的事例在數學界也是有先例的，2004年，美國普渡大學的數學教授布朗基宣稱證明了著名的黎曼猜想，他所用的也是自創的數學工具。不過布朗基在數學界的聲譽和口碑均極差，加之年事已高，其宣稱遭到了數學界的冷淡對待。與之不同的是，望月新一卻不僅有良好的學術聲譽，精力和研究能力也尚處於巔峰期。用陶哲軒的話說，望月新一「與佩雷爾曼和懷爾斯類似」，「是一個多年來致力於解決重要問題，在領域內享有很高聲譽的第一流數學家」。有鑑於此，數學界不僅對望月新一的證明給予了重視，對他自創的方法也表示了興趣，比如美國史丹福大學的數學家康拉德就表示「激動人心之處不僅在於猜想有可能已被解決，而且在於他必須引入的技巧和洞見應該是解決未來數論問題的非常有力的工具」。戈德菲爾德也認為「望月新一的證明如果成立，將是二十一世紀數學最驚人的成就」。

在這種興趣的驅動下，一些數學家已經開始對望月新一的證明展開檢驗與討論，比如著名數學討論網站MathOverflow就已出現了一些有金明迥、陶哲軒等世界一流數學家參與的認真討論。

不過，檢驗過程何時才能完成，目前還不得而知，檢驗的結果如何，更是無從預料。證明得到公認固然是很多人樂意見到的，但一個長達五百多頁的證明存在漏洞也是完全可能的，當年懷爾斯對費馬猜想的「只有」一百多頁的證明，就存在過漏洞，經過一年多的時間才得以彌補。

無論望月新一的證明是否成立，數學家們對ABC猜想本身的成立都抱有較為樂觀的態度，這一方面是因為能因這一猜想的成立而得到證明的很多數學命題（比如如今被稱為費馬大定理的費馬猜想）已經通過其它途徑得到了證明，從而表明ABC猜想與數學的其它部分有很好的相容性。另一方面，ABC猜想還得到了一些啟發性觀點的支持，比如陶哲軒就從所謂的「概率啟發式理由」出發，預期ABC猜想應該成立。

當然，信心和預期取代不了真正的證明。望月新一證明的命運將會如何？ABC猜想究竟被證明了沒有？都將有待時間來回答。