函數求極限能否代入趨近點問題的探討

錯解：

正解：

下面分析錯誤的原因：

我們不去定義新的東西，只利用微積分書裡已有的定理。數學家波利亞說過：「當我們遇到問題的時候，回到定義中去」。數學是嚴格的公理化體系，一切問題必須歸結為已有的定理、定義、公理。

下圖截取自梅加強教授的數學分析

從定理中能夠看到，三個等式成立的條件是：

（請著重注意下面這兩個條件）

1.前提條件：函數f(x)和g(x)在x0的極限都存在且有限（極限為無窮大時不認為有極限）。

2.第三條中還限制g(x)在x0的極限不為零。

錯解：

注意：如果它是正確的，它的每一步必定可以歸結為極限的四則運算且滿足四則運算所需的條件。所以我們把錯解歸結為極限的四則運算，並找到代入cos0=1這一步是怎樣出現的（下面只是某一種歸結方式也有別的方式）

在這一步中分母的極限為零，極限的四則運算第三條明確指出這樣操作的前提是分母極限不為零，所以此法出錯繼而cos0=1代入不被允許。

如果換一種方式歸結：

極限的四則運算成立的前提條件是f(x)和g(x)在x0都有極限。但是

都沒有有限極限（有極限必須是有限的數）所以不可以拆開。

事實上錯解的任何一種歸結方式都會有步驟不滿足極限的四則運算所需條件，這也是不允許代入cos0=1的根本緣由。對於求極限的某種計算方法在我們找到合理的歸結方式以前先保持懷疑的態度。