不定方程的四種常見解法,多種方法結合使用效果更好

2021-01-11 專注小學數學

含有未知數的等式稱之為方程。小學階段最開始接觸的是一個方程只有一個未知數的情況。比如3x+2=8，解得x=2，這樣解出來的答案是唯一性的。

但是有時候我們會遇到一個方程，有兩個甚至三個未知數。這樣未知數個數大於方程個數的方程（組）叫不定方程（組）。

不定方程，一般情況下解是不唯一的。

方程

比如說x+y=10，問這個方程有多少組解？如果不給其他條件限制，那麼這個方程會有無數組解。

所以大多數的不定方程都會有較多的限制條件。比如說限制這些未知數均為自然數，或在某個範圍內。

還是以x+y=10為例，如果x、y都是自然數，那麼x、y的解會有11組。

在小升初或各大小學杯賽題目中，會出現解不定方程。

不定方程，有四種比較常用的解法。

第一種：枚舉法。枚舉法在很多地方都會用得上。比如說計數，找規律等，雖然效率不是很高但適用範圍比較廣。

這種方法適用於一些係數比較大的不定方程。因為係數比較大，出現的可能性就比較少，所以可以利用枚舉的方法來解答。

比如說求這個不定方程的解，7x+2y=24（x、y均為自然數）。

因為x前面的它的係數比較大，所以說x的取值範圍相對來說會比較小。因為x、y都屬於自然數，x最大是3，最小是0。也就是說，x有可能等於0、1、2、3，最多就這4種情況，我們可以把這些x的值分別代入這個方程中解出y的值。

我們會發現x=1和x=3這兩種情況是不成立的。

第二種方法，奇偶性分析。

奇偶分析在解題過程中有重要作用

照樣以上面的例題為例，我們用奇偶分析來幫助我們縮小x的取值範圍。

兩個數的和等於24，是一個偶數。2y也一定是個偶數，所以說7x的值一定是個偶數。7是奇數，所以說x只能是偶數。那麼x又是從0~3，那麼所以說x只能是0或者2這兩種可能。

最後算出有兩組答案：x=0,y=12；x=2,y=5。

第三種：餘數分析。也是用的比較多的方法，通常從係數較小的未知數入手。

它的原理其實就是利用了：和的餘數等於餘數的和，進行判斷分析。當然這種方法一般不是孤立使用，而是將這幾種方法綜合運用。

第四種：個位分析法。在有5或10的係數的不定方程中使用這種方法會比較省力。

比如說不定方程，5x+2y=23，已知x、y都是自然數，求x、y的值。

圖片來自網絡，圖文無關

因為5x個位要麼是0，要麼是5，所以說2y的個位只有兩種可能。當5x的個位是0的時候，2y的個位是3，但2y一定是個偶數，所以說這種情況是不存在的。

因此只有一種情況，5x的個位是5，因此可以推導出x一定是個奇數，2y的個位是8。

有哪幾種情況？2y=8；2y=18，兩個數的和總共是23，所以說2最大是18。分別把2y的兩個值代入方程中，可解出以下兩組答案：x=1，y=9；x=3，y=4。

大家有沒有發現這幾種方法，一般都是結合起來用的，比單獨用某一種方法要快，因為可以有效排除很多不符合題意的答案。

下面這道應用題就需要用到不定方程。

一個人2008年的時候，他的年齡恰好等於他出生年份的各個數字之和，那麼這個人在2008年的時候是多少歲？

他是多少歲呢？歡迎評論留下你的答案。

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