不定方程
形如ax+by=c（a，b，c均為常數，且a，b均不為0），一般情況下，每一個x的值都有一個y值和它相對應，有無窮多組解。如果方程（組）中，解的數值不能唯一確定，這樣的方程（組）稱為不定方程。
對於不定方程，我們常常限定於只求整數解，甚至只求正整數解，在加上這些限定條件後，解可能只有有限個或唯一確定。
不定方程有整數解的條件
整係數二元不定方程ax+by=c中的係數a，b的最大公約數能整除c。
不定方程的基本解法
解不定方程主要根據一個未知數的取值進行討論，如果抓住方程自身的特點，可以大大減少討論的次數，節省解題時間。
1、尾數法
例、求方程4x+5y=76的所有正整數解。
分析：由題意知5y的尾數只能是0或5，因為4x、76是偶數，所以5y只能是偶數，故其尾數只能是0，那麼4x的尾數就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整數x<19，故x可取4，9，14。
當x=4時，y=12；當x=9時，y=8；
當x=14時，y=4。
所以原方程的正整數解為：
x=4， x=9， x=14，
y=12； y=8； y=4。
2、枚舉法
例、求方程3x+11y=53的所有正整數解。
分析：因為y前面的係數較大，且x、y均為正整數，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四個數值，分別將y=1，2，3，4代入原方程，可以發現y=2、3時方程無整數解。
當y=1時，x=14；當y=4時，x=3。
所以原方程的解為：
x=3， x=14，
y=4； y=1。
3、奇偶判斷
例、求方程5x+4y=43的所有正整數解。
分析：因為4y是偶數，43是奇數，所以5x應該是奇數，所以x可取1，3，5，7四個數值。將x=1、3、5、7分別代入原方程，可以發現x=1、5時方程無整數解。
當x=3時，y=7；當x=7時，y=2。
所以原方程的解為：
x=3， x=7，
y=7； y=2。
4、餘數分析
餘數的和等於和的餘數。
例、求4x+5y=102的整數解。
分析：不定方程中各數除以同一個數，所得餘數的關係來進行求解，求x，則消y，除以y的係數。
5y除以y的係數餘0，102除以5餘2，所以4x除以5餘數為2。所以4x只能是12、32、52、72、92五個數，即x=3、8、13、18、23。
當x=3時，y=18；當x=8時，y=14；當x=13時，y=10；當x=18時，y=6；當x=23時，y=2。
所以原方程的解為：
x=3， x=8， x=13， x=18， x=23，
y=18； y=14； y=10； y=6； y=2。
求方程x^2-6xy+10y^2=169的正整數解。
分析：將原方程配方得
（x-3y）^2+y^2=13^2，在初二上學期學習勾股定理的時候要記住的一組勾股數為5、12、13，其中最大的數為13。
所以y=5或y=12，x-3y=±12或±5。
當y=5，x-3y=12時，x=27；當y=5，x-3y=-12時，x=3；當y=12，x-3y=5時，x=41；當y=12，x-3y=-5時，x=31。
所以原方程有四組解：
x=27，x=3，x=41，x=31，
y=5；y=5；y=12；y=12。：