正方體的體對角線垂直嗎 正方體的體對角線是否垂直

2020-12-06 天氣網

體對角線只有長方體和正方體當中才有的對角線，是6個表面中任意一個面上的任意一個頂點與其對面的不在一個面上的那個點的連線。這條線是穿過正方體的，通常用作輔助線，那正方體的體對角線垂直嗎？下面我們一起來了解一下吧。

證明正方體的體對角線是否垂直的方法：過體對角線的一個端點做底面的對角線，該對角線與正方體的一條稜垂直，稜、體對角線、地面對角線構成一個直角三角形，因為底面對角線與稜構成一個直角，所以體對角線不與底面對角線垂直，由線面垂直定理得，直線與平面垂直，則與該面上所有直線垂直，這裡與該定理矛盾，所以正方體中體對角線與底面不垂直。還有另一個方法是：建立一個空間直角坐標系，單位長度取成正方體稜長，則可以選取坐標系讓正方體頂點坐標全為不是0就是1的整數。之後寫出和對角線共線的向量，兩個向量做內積(對應坐標相乘再把三個乘積加在一起)發現不為0，就不垂直。

正方體的特徵是：1、正方體有8個頂點，每個頂點連接三條稜。2、正方體有12條稜，每條稜長度相等。3、正方體有6個面，每個面面積相等。

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