銀漢秋期萬古同
對角線互相垂直的四邊形有什麼性質呢？這期我們就以題說法，一起來探究吧！先看下面這道難題
如圖，正方形ＡＢＣＤ和正方形ＣＥＦＧ邊長分別為ａ和ｂ，正方形ＣＥＦＧ繞點Ｃ旋轉，請猜想ＤＥ、ＢＧ、ａ、ｂ之間存在的等量關係並證明。
這道題涉及到兩個基本的幾何模型，一個是手拉手，另一個是對角線互相垂直的四邊形。
下面我們就重點介紹一下第二個模型，如圖，在四邊形ＡＢＣＤ中，若ＡＣ⊥ＢＤ，可得兩條結論
①Ｓ四邊形ＡＢＣＤ＝１/２ＡＣ´ＢＤ
②ＡＤ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＣＤ２
結論①與這道題無關，不感興趣的同學下一段可以跳過。
Ｓ四邊形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＣＢＤ
＝１/２´ＡＯ´ＢＤ＋１/２´ＣＯ´ＢＤ
＝１/２´（ＡＯ＋ＣＯ）´ＢＤ
＝１/２ＡＣ´ＢＤ
下面證結論②
∵ＡＣ⊥ＢＤ
由勾股定理可得
ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２ ＢＣ２＝ＯＢ２＋ＯＣ２
∴ＡＤ２＋ＢＣ２＝ＯＡ２＋ＯＢ２＋ＯＣ２＋ＯＤ２
同理可得
ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＯＡ２＋ＯＢ２＋ＯＣ２＋ＯＤ２
∴ＡＤ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＣＤ２
下面我們講一下這道題的思路。
這道題首先是由兩個正方形構成的「手拉手」模型，同學們可以自證一下ＢＥ⊥ＤＧ（需要先證△ＢＣＥ≌△ＤＣＧ）。然後連接兩個正方形的對角線ＢＤ、ＥＧ，如圖
∵ＢＥ⊥ＤＧ
∴四邊形ＢＧＥＤ是對角線互相垂直的四邊形
∴ＤＥ２＋ＢＧ２＝ＢＤ２＋ＥＧ２
在Ｒｔ△ＢＣＤ和△ＧＣＥ中
由勾股定理得
ＢＤ２＝ＢＣ２＋ＣＤ２＝２ａ２
ＥＧ２＝ＣＥ２＋ＣＧ２＝２ｂ２
∴ＤＥ２＋ＢＧ２＝２ａ２＋２ｂ２
歸納：
１、「王道初中數學」上有「手拉手」模型的主要結論，有需要的同學請點擊 連結：全等經典題型之「手拉手」
２、對角線互相垂直的四邊形有三條重要性質，一是面積等於對角線乘積的一半；二是對邊的平方和相等，三是中點四邊形是矩形（與本題無關，略）。
這期就到這裡，朋友們，下期再見！
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