此題屬於壓軸題,求證四邊形是正方形,難點是多次證明三角形全等

各位朋友，大家好！近來一段時間，數學世界將持續為大家分享初中數學題，希望筆者的分析與講解能夠為廣大初中生學好數學提供一些幫助！今天，數學世界分享一道有關正方形的證明題，涉及圓的知識，正方形的判定，全等三角形的判定和性質，菱形的判定等知識。

一直以來，數學世界都是精心選擇一些數學題分享給大家，目的是希望由此激發學生們對數學這門課程的興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！接下來，數學世界就與大家一起來看題目吧！

例題：（初中數學綜合題）如圖，四邊形ABCD內接於⊙O，且AB=AD，CB=CD，延長AB、DC交於E，∠AED的平分線交BC於P，交AD於K，延長AD、BC交於F，∠BFA的平分線交CD於H，交AB於G．求證：四邊形GPHK是正方形．

正方形知識回顧

正方形的定義：正方形是特殊的平行四邊形之一，即有一組鄰邊相等，並且有一個角是直角的平行四邊形稱為正方形。

正方形的判定：對角線相等的菱形是正方形. 有一個角為直角的菱形是正方形. 對角線互相垂直的矩形是正方形. 一組鄰邊相等的矩形是正方形.

分析：要證明四邊形GPHK是正方形，可以先證明其是平行四邊形，再想辦法證明其是菱形，再證明對角線相等，按照這三步走.先根據條件證明∠AKP=∠BPK，由此推出∠FKP=∠FPK，得出FK=FP，推出FG⊥EK，PS=SK，同理可證SG=SH.由PK⊥GH可以證明四邊形GPHK是菱形，再證明PK=GH即可解決問題．

請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！

解答：（注意以下過程可以部分調整）

證明：∵四邊形ABCD內接於⊙O，

∴∠EBP=∠EDK，

∵KE平分∠AED，

∴∠KED=∠KEA，

∵∠AKE=∠DEK+∠EDK，∠BPK=∠AEK+∠EBP，

∴∠AKE=∠BPK，

∴∠FKP=∠FPK，（等角的補角相等）

∴FP=FK，

∵FG平分∠PFK，

∴FG⊥PK，PS=SK，

同理可證SG=SH，

（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

∴四邊形GPHK是平行四邊形，

∵PK⊥GH，

∴四邊形GPHK是菱形，

∵AB=AD，CB=CD，

∴弧AB=弧AD，弧BC=弧CD，

∴弧ABC=弧ADC，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠A=∠A，AB=AD，

∴△ADE≌△ABF（ASA），

∴AE=AF，∠AED=∠AFB，

∵∠AEK=1/2∠AED，∠AFG=∠SFP=1/2∠AFB，

∴∠AEK=∠AFG=∠SFP，

∴△AEK≌△AFG（ASA），

∴EK=FG，AK=AG，

∴EG=FK=FP，

∵∠ESG=∠FSP=90°，∠SEG=∠SFP，

∴△ESG≌△FSP（AAS），

∴SG=SP，

∴PK=GH，

∴四邊形GPHK是正方形．

（完畢）

這道題屬於綜合題，考查了圓的相關知識，正方形的判定，全等三角形的判定和性質，菱形的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形證明線段相等。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。