中考數學,計算角度的正切值,這種題不會做?重點高中不要想了

(2018年四川省眉山市中考數學第17題)

如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交於點O，則tan∠AOD=_______。

【思路】利用反向推理方法，要求tan∠AOD的值，相當於求tan∠BOC的值。我們知道在直角三角形中，一個角的正切值等於這個角的對邊與鄰邊的比。所以，要求tan∠BOC的值，就需要對∠BOC構造直角三角形。

另外，我們還知道，正方形的對角線互相平分，且互相垂直。因此，我們在這裡就要添加輔助線BF，則BF⊥CE，交點為P，那麼，△BPO就是直角三角形，因此，tan∠BOC=PB/PO。

接下來的問題就是要找出PB與PO的關係，或者分別計算出PB與PO的值。

首先，PB可以通過正方形的對角線計算出來，而PO呢？無法直接計算，需要利用其他已知條件進行計算。

本題中，其實已經告訴了我們那個最大的長方形的長和寬，因而一定要把這個已知條件利用上。

要知道，所有考試的題目，從來都是儘量少給已知條件，讓應試者自己去發現一些隱藏條件，而不會多給出一丁點兒無用的已知條件。

解：如圖，連接BF，與CE交於點P

∵ AC∥BE

∴ ∠CAO＝∠EBO

又∠AOC＝∠BOE

∴ △AOC∽△BOE

∴ CO:EO＝AC:BE＝3:1

又∵ CO＝CE－EO

∴ (CE－EO):EO＝3:1

即 CE＝4EO

∵ 四邊形 CBEF 是正方形

∴ BF⊥CE，BF＝CE＝2BP＝2PE

因此 PE＝2EO，即點O是PE的中點，

∴ PE＝2PO

即 PB＝2PO

在Rt△BPO中，

tan∠BOP＝PB/PO＝2

∴ tan∠AOD＝tan∠BOP＝2

因此，本題的答案是2。

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