材料人科普 諾獎中的拓撲絕緣體到底是什麼鬼?

拓撲絕緣體自2007年被發現[1]以來，逐漸成為了凝聚態物理領域的一個的新熱點，並被認為是繼石墨烯（2010年諾貝爾物理學獎）之後的」Next Big Thing」。它對於基礎物理的理解以及半導體器件的應用都有很大的價值，因此三位主要的貢獻者C. Kane, L. Molenkamp和S.C. Zhang教授共同獲得了2012年凝聚態物理領域的最高獎」Oliver Buckley」獎，並且成為2014年諾貝爾物理學獎的熱門人選。2016年，大衛·索利斯（David J. Thouless）、鄧肯·霍爾丹（F. Duncan M. Haldane）和麥可·科斯特利茨（J. Michael Kosterlitz）共同獲得了諾貝爾物理學獎，以表彰他們在理論上發現了物質的拓撲相變和拓撲相。本文就是對於拓撲絕緣體領域的小科普，不恰當之處，請大家指正。

【定義】

廣義來看，拓撲絕緣體的定義有很多種——把原有的定義經過修改，獲得的物態或多或少具有拓撲絕緣體的性質。然而這樣卻使得很難下定義。比如，如果有人直觀的把近代物理學的」自旋-軌道耦合」當定義的要素，就有人會說「能帶反轉」更加接近拓撲本質；如果有人說」能帶反轉」是定義的要素，那麼就有人說受「時間反演保護」也不可或缺；如果有人把「受時間反演保護「作為定義的要素，就有人會說其他對稱性也可能產生拓撲絕緣體；如果有人只是考慮被對稱性保護，那麼量子霍爾效應也滿足這個條件，只是不同的拓撲數罷了；然而當對稱破缺的時候，量子霍爾效應的很多性質，已經和拓撲絕緣體相隔甚遠：拓撲絕緣體是helical state，對稱破缺後下能回到普通絕緣體，而量子霍爾效應是chiral 態，即使沒有長程糾纏也變不回變為直積態。

即使有人想回歸材料的角度，比如Bi2Se3族的拓撲絕緣體說起，然而這只是實驗上發現的一小類拓撲絕緣體，叫做「Z2三維強拓撲絕緣體」。。。

看吧！很難下定義吧。本文作為小科普，選用一個折中的定義。

簡言之，拓撲絕緣體的內部是絕緣體，然而表面卻有被拓撲保護的電子態。這個電子態的維度比內部要低1個維度（比如對一個3維絕緣體，表面電子態就是2維），而且有很多新奇的性質。也正是這些性質，使得它有可能被廣泛的應用。

【性質】

在目前已有大量實驗研究的那一類拓撲絕緣體的新奇的表面電子態的性質通常如下：

1. 這個表面的電子態是導體

導體和絕緣體的區別，就不言而喻了吧。簡言之，原子的能級，在原子之間有相互作用的時候，形成能帶。簡述如下，如下圖1.(a)。導體能導電是由於存在自由電子。自由電子就是電子（哆啦藍色的實心圓）不費力氣被散射，到同一條能帶上的空態上（哆啦藍色的空心圓）落腳。

對於一個絕緣體，不能導電是由於沒有自由電子導致的，就是能量較低的價帶（橙色曲線）填滿電子，已經沒有電子落腳點，所以電子想要被散射變成自由電子，就至少需要外界提供超過數值為Eg的能量（叫做能隙），才能落腳到導帶（綠色曲線）上。

在這裡，導體和絕緣體都有這樣的能量E和動量k的關係，E=k2/2m， m為有效質量，對於價帶，可以認為 m<0。這個性質是普通絕緣體表面所沒有的。普通絕緣體表面，儘管能帶可以彎曲，但還是屬於絕緣體，能隙不會消失。能隙的消失，就屬於一種量子相變。

2. 這個導體不是普通的導體，而是可以防止被雜亂無章的東西散射

所謂電阻，就是電子的運動被某些東西給碰撞阻礙，使其運動受阻的宏觀表現。如圖1.(b)，絕緣體電阻是由於能隙，然而，金屬電阻裡的「神馬玩意兒」有幾個常見的來源，一個是電子被聲子碰撞，一個是電子被雜質碰撞。假設下圖2裡，哆啦A夢代表電子，胖虎是來撞他的雜質，那麼拓撲絕緣體的表面電子防止被雜質散射的過程可以形象地表示為電子是否能背向散射（彈回去）。正是這個性質導致了低電阻，而內部是絕緣體又防止了漏電，從而製造的器件以低功耗運行，使得拓撲絕緣體在半導體器件應用領域有潛在的價值。

3. 不但防止背向散射，電子還像光一樣自由

拓撲絕緣體的電子運動不符合通常金屬電子色散關係E=k^2/2m，而是E=v*k，v就是電子運動的速率（已假定k0=0）。注意對光而言，有E=c*k成立，其中c為光速，所以我們說，電子的運動方式，不像非相對論的粒子，而像光，只是速率不同。畫在能帶圖裡，如下圖3。也正是這個性質，使得電子對於外界電場有很靈敏的響應，從而可以作為半導體器件（比如場效應管）的基礎。

 

4. 拓撲絕緣體表面態的電子，還有自旋結構

在拓撲絕緣體裡，它的能帶不單單是像圖3.b或者圖4.a那樣的線性色散，而且還帶有自旋結構。這個自旋結構，就是電子的動量和自旋，呈一個固定的角度（叫做自旋-動量鎖定），簡化為如圖4.b：對於k>0的電子，自旋為正，而對於k<0的電子，自旋為負。正是自旋使得拓撲絕緣體表面態比通常的半導體微納電子器件多了一個可調節的自由度，比如分開控制自旋向上和自旋向下的電子流，從而可以在自旋電子學（spintronics）領域有重要應用。

【成因】

我們已經了解了在拓撲絕緣體表面電子態的一系列新奇的性質。然而，這個表面電子態是怎麼形成的呢？ 既然名字叫做「拓撲絕緣體」，我們就要從拓撲說起。拓撲作為數學的一個分支，研究和物體形狀有關的性質，比如在物體被連續形變的時候，還能夠保持不變的不變量。比如下圖的例子：一個水杯可以連續的變形之後，變成一個多納圈。儘管水杯和多納圈在幾何的意義上不同（快餐店「Dunkin Donuts」賣的多納圈是水杯狀的話，不知道還會不會有人買），但在拓撲的意義下卻是等價的。然而，一個多納圈卻不能連續變換為一個球，因為必須要讓那個「圈」閉合，如下示意圖5：

作為和拓撲絕緣體更相關的拓撲的例子，考察下圖6。這就是一張普通的A4紙（上面寫了一個笑話），沒有用粘連等方式，僅僅通過簡單的剪裁和拓撲的威力，就可以把紙變成這樣。這張紙和普通的A4紙有什麼本質的區別？答案就在拓撲上：這張「拓撲的紙」，是把普通的紙的一半擰了之後得到的（不妨把它作為謎題，找一張紙自己試試看），這個過程相當於給這張紙打了個結。它和圖5的多納圈一樣，都帶有一個的拓撲數。

如果覺得這樣紙很神奇的話，那麼也就不難想像拓撲絕緣體的表面電子態的神奇之處了：和這張紙類似，只要對內部的絕緣體的能帶打個結，就必然會有一個特殊的電子態出現表面上。這個結是怎麼打的呢？見下圖7。

首先，把拓撲絕緣體的內部的價帶和導帶當成兩條繩子，如圖a)。如前述，拓撲絕緣體內部是絕緣體，所以有如圖1.b的能帶結構。其次，通過把兩個繩子連續變形，把兩根繩子放在一起（能帶反轉），如圖b)，準備打結。圖a)和圖b)的區別好比水杯和多納圈，只不過這裡形變的是能帶本身。在圖b)形變之後，我們可以認為能隙Eg是負數。再次，把已經打好結的兩根繩子分離，如圖c)。能讓繩子分開的一種重要的機制正是自旋-軌道耦合。由於打結就是兩根繩子混入彼此，所以原有的價帶的一部分混入導帶，原有的導帶的一部分也混入價帶。

最後，由於打好結的繩子和原來的繩子並沒有剪斷（因為是叫連續變形），所以好像「拉橡皮筋」一樣存有一定的連結，如圖d)。這個連結就是拓撲的神奇表面態，黃線所表示的表面態能帶的正是圖4b的黃線。就好象系死結，只要不強行把死結剪斷（非連續形變），不管繩子怎麼動，死結還在那裡一樣，從物理的角度，由對稱性和相關的Kramers定理，這個結也一定存在，就是兩根黃線的交點，叫做Dirac點。 這樣，拓撲絕緣體就形成了。

然而，一個剩下的重要問題是：為什麼非得是在表面？為什麼這個奇異的態一定比內部的絕緣體少一個維度？比如3維的拓撲絕緣體的導電部分是表面的2維電子，與之類似的，在2維的量子霍爾效應裡，有能隙的結構是2維，然而霍爾電導卻在有能隙的情況下存在，正是由於在樣品邊緣處的1維的電子產生的。這個Bulk-Surface Correspondance的問題其實非常深刻，甚至能一路追溯到超弦理論/共形場論的對偶（AdS/CFT Duality)。一個簡單的解釋見圖8：

由於普通絕緣體和拓撲絕緣體的區別在於不同的拓撲（打結與否），那麼就可以用不同拓撲的物體來描述，比如多納圈（圖8.a）和球（圖8.b）。然而有趣的是發生在拓撲絕緣體和普通絕緣體（比如真空，空氣）的界面處： 這個界面就是材料表面，顯然存在，然而一個多納圈卻不能連續的形變成一個球。為了從多納圈變為球，就必須把那個洞給閉合上，即不連續變化，或說拓撲變化。同樣，拓撲絕緣體的能帶也沒法通過連續變形，變成一般絕緣體的能帶。這中間需要一個不連續變化，就是把能隙關閉的量子相變。能隙關閉就是圖1.a中提到的導體，也就是產生了那個新奇的拓撲態，如圖9。這樣，拓撲絕緣體就形成了。

【參考文獻】

[1] Science 318(5851), 766-770 (2007).
[2] Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).
[3] Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011).
[4] Topological Insulators: Dirac Equation in Condensed Matters (Springer Series in Solid-State Sciences, Vol 174), Springer 2013.（見下方「閱讀原文」）

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