等腰三角形創新問題由於它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強、難度較大，不僅能考查學生的數學基礎知識，而且能考查學生的創新意識以及發現問題、提出問題、分析問題並解決問題的能力，因而倍受關注,越來越成為熱點和亮點考題，成為中考的一道亮麗風景，它既檢測了同學們對所學的知識的理解與運用能力,又檢測了同學們分析問題和解決問題的能力,能全面檢測同學們的數學綜合素質.
類型1 條件開放型問題
例1．有下列三個等式①AB=DC；②BE=CE；②∠B=∠C．如果從這三個等式中選出兩個作為條件，能推出Rt△AED是等腰三角形，你認為這兩個條件可以是______（寫出一種即可）
【分析】依據條件判定△ABE≌△DCE，即可得到AE=DE，進而得出Rt△AED是等腰三角形．
【解答】當AB=DC，BE=CE，∠AEB=∠DEC時，Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），故AE=DE，即Rt△AED是等腰三角形；
當AB=DC，∠B=∠C，∠AEB=∠DEC時，△ABE≌△DCE（AAS），故AE=DE，即Rt△AED是等腰三角形；
當BE=CE，∠B=∠C，∠AEB=∠DEC時，△ABE≌△DCE（ASA），故AE=DE，即Rt△AED是等腰三角形．
故答案為：①②或①③或②③．（答案不唯一）
【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等．
變式．如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，由下列條件中的某一個就能推出△ABC是等腰三角形的是______（把所有的正確答案的序號都填在橫線上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD+∠B=∠CAD+∠C；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD
【分析】可根據等腰三角形三線合一的性質來判斷即可．
【解答】①無法判定；
②∵∠BAD+∠B=∠CAD+∠C，
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
在△ABD與△ADC中
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴∠B=∠C，故②正確；
③延長DB至E，使BE=AB；延長DC至F，使CF=AC；連接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，
又∵AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形．
④同理可得AB﹣BD=AC﹣CD；
故答案為：②③④
評註:本題是添加條件的創新題,重點考查了等腰三角形的判定和性質.要由已知條件結合圖形通過逆向思維找出合適的條件,有一定的開放性和思考性.這種類型的題目能激起同學們的挑戰欲望和創新熱情，實屬一道「人人能達到」的好題.
變式練習1．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個條件使∠BAD=∠CAE，則添加的條件不能為（ ）
A．∠ADE=∠AED B．∠B=∠C
C．AD=AE D．BD=CE
類型2 結論開放型問題
例2．已知△ABC，AB=AC，D為直線BC上一點，E為直線AC上一點，AD=AE，設∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如圖，若點D在線段BC上，點E在線段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那麼α=_______ °，β=_____ °，②求α，β之間的關係式．
（2）請直接寫出不同於以上②中的α，β之間的關係式可以是_________．（寫出一個即可．）
【分析】（1）①先利用等腰三角形的性質求出∠DAE，進而求出∠BAD，即可得出結論；
②利用等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得出結論；
（2）①當點E在CA的延長線上，點D在線段BC上，同（1）的方法即可得出結論；
②當點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上，同（1）的方法即可得出結論．
【解答】（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，∠ADE=70°，
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，
∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，
∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，
故答案為：20，10；
②設∠ABC=x，∠AED=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，
∴α=2β；
（2）①當點E在CA的延長線上，點D在線段BC上，
如圖1
設∠ABC=x，∠ADE=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β﹣y，
在△DEC中，x+y+β=180°，
∴α=2β﹣180°，
②當點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上，
如圖2，同①的方法可得α=180°﹣2β．
故答案為：α=2β﹣180°或α=180°﹣2β．
變式．如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，G是AD上一點，且AG=DG，連接BG並延長BG交AC於E，又過C作AD的垂線交AD於H，交AB為F，則下列說法正確的是_______（填序號）．
①D是BC的中點；②∠CDA＞∠2；③BE是△ABC的邊AC上的中線；
④CH為△ACD的邊AD上的高；⑤△AFC為等腰三角形；
⑥連接DF，若CF=6，AD=8，則四邊形ACDF的面積為24．
【分析】根據等腰三角形的定義、三角形的中線、三角形的高的概念進行判斷，對角線垂直的四邊形的面積=對角線乘積的一半；
【解答】①錯誤．假設結論成立，則↓ABC是等腰三角形，顯然不可能，故①錯誤；
②正確．∵∠ADC=∠1+∠ABD，∠1=∠2，
∴∠ADC＞∠2，故②正確；
③錯誤．假設結論成立，則∵AG=GD，AE=EC，
∴EG∥BC，顯然不可能，故③錯誤，
④正確，∵CH⊥AD，
∴CH為△ACD的邊AD上的高，故④正確，
⑤正確．∵∠1=∠2，AD=AD，∠AHF=∠AHC=90°，
∴△AHF≌△AHC（ASA），
∴AF=AC，故⑤正確，
⑥正確．∵AD⊥CF，
∴S四邊形ACDF=1/2×AD×CF=1/2×6×8=24．
故答案為②④⑤⑥．
【點評】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，對角線垂直的四邊形的面積，注意：三角形的角平分線、中線、高都是線段，且都是頂點和三角形的某條邊相交的交點之間的線段．透徹理解定義是解題的關鍵．
變式練習2．如圖，點D是等腰△ABC底邊的中點，點E是AD延長線上的任一點，連接BE，CE，則下列結論：①BE=AC；②AE平分∠BEC；③AE=AB；④∠ABE=∠ACE，其中正確的有______（填寫序號）．
類型3、操作性問題
例3．△ABC中，AB=AC，過其中一個頂點的直線可以把這個三角形分成另外兩個等腰三角形，則∠BAC（ ）
【分析】利用三角形內角和定理求解．由於本題中經過等腰三角形頂點的直線沒有明確是經過頂角的頂點還是底角的頂點，因此本題要分情況討論．
【解答】①如圖1，當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AB=AC，AD=CD=BD，
設∠B=x°，則∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°，
∴∠CAD=∠C=x°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°；
②如圖2，
AB=AC=CD，BD=AD，
設∠C=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，則頂角是108°．
③如圖3，
當過底角的角平分線把它分成了兩個等腰三角形，則有AB=AC，BC=BD=AD，
設∠BAC=x°，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=x°，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
則頂角是36°．
④如圖4，
當∠BAC=x°，∠ABC=∠ACB=3x°時，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠BAC=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
則x+3x+3x=180°，x=．
則∠BAC=90或108或36或度．
故選：A．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質及其判定．作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然後根據等腰三角形的性質、三角形的內角和定理及其推論找到角之間的關係，列方程求解．
變式．如圖，在△ABC中，∠A=120°，∠B=40°，如果過點A的一條直線l把△ABC分割成兩個等腰三角形，直線l與BC交於點D，那麼∠ADC的度數是______．
【分析】有兩種情況：把120°的角分為100°和20°或40°和80°，分別畫出圖形，即可求解．
【解答】分兩種情況：
①如圖1，把120°的角分為100°和20°，
則△ABD與△ACD都是等腰三角形，其頂角的度數分別是100°，140°；
∴∠ADC=140°
②把120°的角分為40°和80°，
則△ABD與△ACD都是等腰三角形，其頂角的度數分別是100°，20°，
∴∠ADC=80°，
故答案為140°或80°．
【點評】此題主要考查等腰三角形的性質以及三角形各角之間的關係，難度適中，畫出圖形是關鍵．
變式練習3.如圖，若AB=AC，下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）
類型4 動點型問題
例4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，動點P從點B出發以每秒1個單位長度的速度沿B→A勻速運動；同時點Q從點A出發同樣的速度沿A→C→B勻速運動．當點P到達點A時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t秒，當t為______時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．
【分析】分情況討論：①當AQ=PQ時，如圖1，證明△ADQ∽△ACB，則AD/AQ=AC/AB，列方程可得t的值；
②當BP=BQ時，如圖2，根據BP=BQ列方程可得t的值；
③當BQ=PQ時，如圖3，同①證明三角形相似可得t的值．
【解答】①當BP=PQ時，如圖1，
由題意得：BP=PQ=AQ=t，
Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴AP=5﹣t，
②當BP=BQ時，如圖2
由題意得：BP=AC+CQ=t，
∴BQ=3+4﹣t=7﹣t，
∴7﹣t=t，t=3.5；
③當BQ=PQ時，如圖3，
過Q作QD⊥AB於D，
∴BD=1/2BP=1/2t，BQ=7﹣t，
∵∠B=∠B，∠BDQ=∠ACB=90°，
∴△BDQ∽△BCA，
【點評】本題是幾何動點問題，考查了等腰三角形的判定、三角形相似的性質和判定．分類討論的數學思想是本題考查的重點，並與方程相結合解決問題．
變式．如圖，已知點P是射線BM上一動點（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當∠OAP=______時，以A、O、B中的任意兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．
【分析】先根據題意畫出符合的情況，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出即可．
【解答】分為以下5種情況：
①OA=OP，
∵∠AOB=30°，OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=1/2（180°﹣30°）=75°；
②OA=AP，
∵∠AOB=30°，OA=AP，
∴∠APO=∠AOB=30°，
∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣30°=120°；
③AB=AP，
∵∠AOM=60°，AB=AP，
∴∠APO=∠ABM=60°，
∴∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣60°=90°；
④AB=BP，
∵∠ABM=60°，AB=BP，
∴∠BAP=∠APO=1/2（180°﹣60°）=60°，
∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣60°=90°；
⑤AP=BP，
∵∠ABM=60°，AP=BP，
∴∠ABO=∠PAB=60°，
∴∠APO=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣60°=90°；
所以當∠OAP=75°或120°或90°時，以A、O、B中的任意兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形，
故答案為：75°或120°或90°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質和判定、三角形內角和定理等知識點，能畫出符合的所有圖形是解此題的關鍵．
變式練習4．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（0，2）和（3，4），點P在x軸上運動，若△ABP是等腰三角形，則滿足條件點P的坐標是______．
類型5 規律探究問題
【分析】先根據等腰三角形的性質求出∠BA1A的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數，找出規律即可得出∠An的度數．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數，找出規律是解答此題的關鍵．
【分析】根據等腰三角形的性質以及平行線的性質得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…進而得出答案．
【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…進而發現規律是解題關鍵．
變式練習5.如圖，在平面直角坐標系中，有一個正三角形ABC，其中B、C的坐標分別為（1，0）和C（2，0）．若在無滑動的情況下，將這個正三角形沿著x軸向右滾動，則在滾動的過程中，這個正三角形的頂點A、B、C中，會過點（2018，1）的是點（ ）
A．A和B B．B和C
C．C和A D．C
類型6 計數問題
例6．如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，點P是x軸上一動點，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有______；
【分析】分為三種情況：①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分別畫出即可．
【解答】當OA與x軸正半軸夾角不等於60°時，以O為圓心，以OA為半徑畫弧交x軸於點P和P′，此時三角形是等腰三角形，即有2個滿足條件的點P；
以A為圓心，以OA為半徑畫弧交x軸於點P″（O除外），此時三角形是等腰三角形，即有1個滿足條件的點P；
作OA的垂直平分線交x軸於一點P1，
則AP=OP，
此時三角形是等腰三角形，即有4個滿足條件的點P；
當OA與x軸正半軸夾角等於60°的時候，圖中的P1，P'和P'會重合，是一個點，加上原來的負半軸的P點，總共2個點，
故答案為4或2個．
變式.如圖，∠AOB=45°，點M，N在邊OA上，OM=3，ON=7，點P是直線OB上的點，要使點P，M，N構成等腰三角形的點P有（ ）個．
A．1 B．2
C．3 D．4
【分析】先求出點M、N到在OB的距離，再根據等腰三角形的判定逐個畫出即可．
【解答】解過M作MM′⊥OB於M′，過N作NN′⊥OB於N′，
∵OM=3，ON=7，∠AOB=45°，
所以只有一小兩種情況：①以M為圓心，以4為半徑畫弧，交直線OB於P1、P2，此時△NP1M和△NMP2都是等腰三角形；
②作線段MN的垂直平分線，交直線PB於P3，此時△MNP3是等腰三角形，
即有3個點P符合，故選：C．
【點評】本題考查餓等腰三角形的判定，能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．
變式練習6.在平面直角坐標系中，點A坐標為（2，2），點P在x軸上運動，當以點A，P、O為頂點的三角形為等腰三角形時，點P的個數為（ ）
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
變式練習答案：1.B；2.②④； 3.B；4.（3，0）或（3.5，0）； 5.A ；6.C
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