量子效應的宏觀體現——卡西米爾效應 | 量子群英傳

理論大師重工業應用 真空漲落被實驗證實

圖23-1：卡西米爾（圖源：nationaal archief）

撰文 | 張天蓉

責編 | 寧 茜 呂浩然

上一篇中我們為真空描繪了一幅直觀的圖像：充滿了各種類型的虛粒子。「充滿了」的說法是不太恰當的，因為可能有人會說：把這些虛粒子移走吧，那才是真正的真空。不過，從量子場論的角度分析解釋，這是不可能做到的。可以被「移走」的是實粒子，虛粒子是不可能被移走的，因為實際上它們並不是什麼「粒子」，而只是能量最低的「基態」，是具有能量的瞬息萬變又永遠存在的各種「場」，它們之間有相互作用，像大雜燴一樣混在一起，且不可分離。儘管如此，我們仍然喜歡使用「虛粒子」一詞，因為它形象、簡單，在一定的程度上抽象出了相互作用的本質。

那好，既然真空中有這麼多具有能量的虛粒子，我們可不可以探測到它們的存在？有人又進一步地異想天開：能不能把這些能量釋放一些出來，供人類利用呢？

釋放出來？聽起來有點像要造永動機，可以暫不考慮，但想出某種方法探測真空能是可行的。早在70多年前就有科學家作此建議，也有許多科學家一直在對此作孜孜不倦地探索。這其中的實例之一就是：卡西米爾提出的卡西米爾效應（Casimir effect）。

卡西米爾

亨裡克·卡西米爾（Hendrik Brugt Gerhard Casimir，1909-2000）是荷蘭物理學家，他在保羅·埃倫費斯特（Paul Ehrenfest，1880 -1933）的指導下於萊頓大學學習，並獲得理論物理博士學位。讀博期間他曾經到哥本哈根研究所，追隨玻爾（Niels Henrik David Bohr，1885 -1962）做研究。玻爾當時在丹麥大名鼎鼎，實際上，那個年代的其他大物理學家也一樣，被自己國家的民眾廣泛認可和崇敬，猶如現代的歌星影星。

卡西米爾曾經講過一個有趣的故事來說明當年玻爾的名氣：他讓自己在荷蘭的父母給在丹麥的他寫一封信，信封上的地址只寫「卡西米爾/尼爾斯·玻爾，丹麥」，不寫別的。果然，這封信在幾天之內就從荷蘭準時到達了卡西米爾的手中。博士畢業後，卡西米爾又在泡利（Wolfgang E.Pauli，1900-1958）的指導下作博士後研究。

名師出高徒。才華橫溢、成就頗豐的卡西米爾對理論物理有許多貢獻。包括在數學上證明了半單李群（semi-simple Lie group）的完全可約表示；提出了核四極矩假設，計算超精細結構；給出了順磁弛豫現象的熱力學解釋；解決了超導態的熱力學理論等。有名的卡西米爾效應是他二戰後（1948年）在飛利浦物理實驗室（Philips Natuurkundig Laboratorium）工作時提出的[1]，這個效應的研究豐富了量子場論的真空觀念，啟發了科學家們對自然規律多方面的積極思考，其影響一直延續至今。

卡西米爾不僅是位優秀的理論物理學家，他還從事多項工業方面的相關研究。不過，20世紀30年代的學術界並不鼓勵科學家參與考慮技術問題，卡西米爾是個特例。他同時重視理論和應用的所作所為，使科學大師們感到困惑。泡利就曾嘲諷卡西米爾為「總工先生」，並懷疑他是否能在工業環境中繼續開展科學研究。事實證明了卡西米爾在這方面的遠見卓識，他的後半生作為飛利浦研究實驗室的主任，完美地結合了科學和技術這兩個不同的領域。卡西米爾成為這兩方面的領軍人物。

圖23-2：卡西米爾效應

科學和技術是相互依存的，提出卡西米爾效應的過程也證明了這點：這個發現產生於他在飛利浦實驗室對用於工業的石英粉末懸浮液的研究。如圖23-2所示，卡西米爾效應指的是真空中兩片中性（不帶電）的金屬板會出現吸力而互相靠近的現象。理想情形下，要求平板是無窮大和無窮薄的。這種似乎是無中生有的吸引力，在經典理論中是不會出現的，一般被解釋為是量子場論的一個重要結果，因為它證實了零點能的存在。

晚年的卡西米爾將他的經驗發展成一種研究模式，稱其為科學——技術互惠模式，即科學研究和工業技術研發互相依存，共同發展的模式。

計算卡西米爾力

研究膠體分子間的範德華力（Van Der Waals Force）給了瓦西米爾啟發，讓他開始計算卡西米爾力。卡西米爾與德克・波爾德（Dirk Polder，1919-2001）合作，考慮膠體分子問題的相對論修正之後，進一步思考兩個宏觀物體之間的色散吸引力問題。當他向玻爾談論這項工作時，玻爾嘟囔著說了一句：這一定與零點能有關。敏感的卡西米爾受到啟發後，完成了兩平板之間吸引力的計算，得到了著名的卡西米爾力公式。

這是最廣為人知的真空場及其場效應的例子。可以簡單地用真空漲落來理解：兩個平面之間的真空漲落不同於平面外面的真空漲落，其原因其實是靠得很近的平面限制了其中能容許的某些虛光子的頻率（或波長）。

圖23-3：簡單估算單位面積的卡西米爾力F

如圖23-3所示，假設兩個平面之間的距離為d，只有波長λ小於2d的波動才能存在於兩個平板之間。或者從粒子的角度來說，就是平板之間只能容納頻率v大於c/(2d)的光子。受此限制，束縛於平面之間的虛光子數，要比外面的虛光子數少很多，因此，漲落的能量也就更小。平面內外真空漲落的差異，就會對平板產生一個向內的推力F（單位面積的力），使得它們表現為互相吸引的卡西米爾效應。

當我們計算真空零點能的時候，由於不確定性原理，所有頻率的量子漲落模式都需要考慮，用圖23-3中的能量譜密度（ρ0(ω)）的計算公式對所有的頻率積分，這個計算顯然會帶來無窮大的零點能，這也正是量子場論紫外發散的體現。不過，當我們計算卡西米爾平板「內外」的兩個真空漲落之差時，兩個趨於無窮大的表達式相減，許多項互相抵消了。所以，會得出一個隨著板間距離d變化的、大小有限的、單位面積的卡西米爾力F，如圖23-3右邊藍框中的表達式。

由圖中表達式可見，單位面積的卡西米爾力F與普朗克常數ћ成正比，這正是量子效應的表現，因為根據經典電動力學，兩個中性導體板之間不可能有經典力存在。同時，F也和光速c成正比，這是電磁場的特徵常數，也因為計算中考慮了相對論效應的緣故。此外，F與板間距離d的四次方成反比，說明隨著距離的減小，F增加很快；F的負號，則代表這是一個方向向內的吸引力。

卡西米爾力很小，只有在兩平板距離非常之小時才可以被檢測到。然而，該效應有令人驚嘆之處。例如，考慮距離d=1微米的情況，卡西米爾壓強大約是1.3 mPa，這已經是一個宏觀的數值。如果距離d=10納米（大概是一個原子尺度的100倍）時，卡西米爾效應能產生1個大氣壓的壓力（101.3千帕）！因此，卡西米爾力可以看作是量子效應在宏觀上的體現。

實際測量

不過，儘管卡西米爾力可看作量子效應的宏觀體現，可它仍然難以用實驗檢測，因為實驗條件要求太高：兩個平行金屬板要相距很小距離（如1微米），還要做到「嚴格平行」，且表面「純淨無雜質」等等。因此，直到卡西米爾效應被預言的10年之後，斯帕納伊（M. J. Sparnaay，1923-2015）才完成了對卡西米爾力的首次測量[2]。實驗的精度雖然不高，卻證實了該效應的存在，人們也第一次對檢測卡西米爾力有了實踐認知。

1997年，當時在美國華盛頓大學的史蒂夫·拉莫洛克斯（Steve Lamoreaux）首次對卡西米爾的理論提供了堅定的實驗證實[3]。他們利用新的方法，對卡西米爾力進行了更精確的測量，

雖然卡西米爾力最初的理論是用於平行板，但實際上以這種方式測量力是很困難的，因為很難將靠得很近、具有一定面積的兩個金屬板，對齊得足夠好以得到精確的實驗結果。對此，拉莫洛克斯在1997年實現了根本的突破，他（們）測量了金屬板和金屬球之間的卡西米爾力，這種設置不需要精確對準兩個平面，因為如圖23-4a中的公式所示，這時候的卡西米爾力與平面的面積無關。

圖23-4：測量卡西米爾效應的實驗

拉莫洛克斯的實驗結果在距離大約為1微米時，實驗數據在5%～10%的誤差內與理論一致。與之前的測量相比，這是一個了不起的成就。所以，拉莫洛克斯對方法的改進算是卡西米爾實驗的一個裡程碑。自此之後，物理學家們考慮、計算、測試了大量不同幾何形狀的金屬表面之間的卡西米爾效應。

此外，卡西米爾力有時還表現可以為斥力[4,5]，不是通常的吸引力，和朗道（Lev Davidovich Landau，1908-1968）一起寫《理論物理學教程》的慄弗席茲（Е.М.Лифшиц，1915-1985）最早計算了這種產生斥力的結構[4]。如圖23-5：左邊球殼上的卡西米爾力是排斥性的，如果將球中充滿了介質（圖23-5右圖）又會變成吸引力。

圖23-5：卡西米爾效應的排斥和吸引作用

應 用

卡西米爾力最重要的意義在於它是量子現象的宏觀效應。近年來，卡西米爾力不僅在其實驗檢測方面有突破，理論研究也有所進展。一個有趣的事實是：卡西米爾當年的研究起始於對範德華力的計算，幾十年之後，理論上已經證明，這看起來完全不同的兩種力，本質上是一樣的。都是起源於真空漲落[6]，因此，兩者的界限已經開始模糊，可以說範德華力其實是分子尺度的卡西米爾效應。有關範德華力和卡西米爾力的相關研究還涉及到一個有趣的事實：壁虎能爬牆的原因，之前用範德華力來理解，現在也可以將它說成是卡西米爾力，這正印證了「量子現象的宏觀效應」那句話。

卡西米爾效應在納米技術中也有所表現，它對納米尺度微型器件的設計和製造，既有不良的影響，也有好的應用，因為當距離小於幾十納米時，和其他力相比，卡西米爾力佔據了主導地位。例如，它有可能使得本來可移動的部件粘結在一起，使得可移動元件坍縮到本來不動的元件上，對系統造成巨大的破壞。人們也利用此類有害現象，達到有用的目的：例如有人開發了由卡西米爾力驅動的微型機械裝置；有人在微米級機械組件MEMS的設計中，利用卡西米爾效應控制器件中導電板的運動等，此類研究方興未艾。

總之，卡西米爾物理已經遠遠超出了70多年前最初研究工作探索的範疇，成為一個物理意義豐富的、有趣而活躍的研究題目。

卡西米爾效應等已經讓我們切實地體會到了真空中虛粒子的存在，但近幾年科技界的絕活兒遠不止這點兒。虛粒子不僅存在，一定的條件下還能「轉化成」實粒子！這包括如下幾個熱門題材：卡西米爾動力學效應、黑洞的霍金輻射……我們將在下一篇介紹這些現象，以及真空與宇宙學常數的關聯等。

參考資料

[1] Casimir H B G. On the attraction between two perfectly conducting plates. Proc K Ned Akad Wet, 1948, 51:793-795.

[2] Sparnaay M J. Measurements of attractive forces between flat plates. Physica, 1958, 24:751-764.

[3] Lamoreaux S K. Demonstration of the Casimir force in the 0.6 to 6 mm range. Phys Rev Lett, 1997, 78:5-8.

[4] Lifshitz, E. M. The theory of molecular attractive forces between solids. Sov. Phys. JETP 2, 73–83 (1956)

[5] Boyer T H. Quantum electromagnetic zero-Point energy of a conducting spherical shell and the Casimir model for a charged particle. Phys Rev, 1968, 174（5）:1764-76.

[6] Klimchitskaya, G. L.; Mostepanenko, V. M. (July 2015). &34;. Proceedings of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (517): 41–65. arXiv:1507.02393