證明命題：1+1=2
作 者：omega
§1.引言
對於一個公理，我們是不需要證明的，所以說，因為1+1=2這並不是公理，只是簡單的命題，所以我們是必須需要證明的.
故我們得到了一個求證命題：
求證：1+1=2.
對於證明原命題我們就要重新定義一下其中所涉及到的原定義，例如：我們需要定義「1」的概念，同理我們就要重新定義「2」的概念，加法的概念，相等的概念等.
首先對於原命題的運算來看，我們可以重新定義「1」，「2」的概念，即明確「自然數」的概念並作其推論.
§2.自然數集的定義及其推論
若使用N表示全體自然數的集合（即「自然數集」），則有： 0∈N.
（A）
即0是自然數.
我們還可以由公理A得到公理A的推論：
若任意數a∈N，則數a有唯一一個後繼數a』，且a』∈N.
（B）
由公理A和公理A的推論公理B，我們得到了結論1： 0是自然數，0』是自然數，0』』是自然數，......
（1）
由結論1我們得到了一串自然數，但是我們現在存在幾個問題，例如：如何推得0』和0』』是兩個不一樣的數？同理可得怎麼證明在這個由結論1得出的自然數數列中的每一項都不相等呢？
所以我們就要由公理A，B和結論1定義「相等」的概念，即得到其推論命名結論2：
若a，b是集合N中不同的元素，則稱a≠b，反之則稱a=b.
（2）
我們再由公理A，B和結論1得到的推論結論2可以推得以下公理的推論C：
若任意數a，b∈N，且a≠b，則有a』≠b』.
（C）
即不同自然數的後繼數都不相等.
由以上所有公理，推論和結論可得公理的推論D：
對於任意數a∈N，a』≠0.
（D）
即0不是任何自然數的後繼數.
現在根據以上所有推論我們可以得出：a』=a+1.
我們現在重新明確了以上公理並作了對於以上所有公理的推論，我們可以保證自然數集一定是一個鏈狀的，而不會有循環或重複的部分，而且0會是這條數鏈的唯一起點.
但是我們不能保證正整數集N中只有這一條數鏈，有可能N中還有其他以0*（即表示0的第n個後繼數）為起點的另一條（或多條）的數鏈.
所以我們在以上所有理論的基礎上，需要添加一條「自然數集中只有一條數鏈，且這條數鏈必須0是唯一起點」的結論3：
數學歸納法在自然數集中是成立的. （3）
即可以表述為：若0具有性質Q，且若自然數k具有性質Q，則k』也具有性質Q，那麼全體自然數都具有性質Q.
至此，我們把自然數集的定義重新明確和推論都完成了，既有：滿足公理A，B，C，D和結論1，2，3的數屬於正整數集中的元素，即滿足公理A，B，C，D和結論1，2，3的集合就是自然數集N.
§3.使用根據對於自然數集的定義和推論表示自然數並定義加法和相等
根據之前我們根據公理所推出的所有推論和結論，我們要表示自然數就很簡單了.現在我們由之前所推得的結論，可以發現表示自然數可以使用0，0』， 0』』， 0』』』，......的方法，但是我們又可以發現這樣表示自然數比較複雜，而且對於較大的自然數使用這種方法來表示顯然不太妥當.
所以我們可以使「1」成為一個符號，來表示「0』」；同理，可以使用符號「2」來表示「0』』」；......這樣我們就可以引入我們現在所使用的任意自然數去表示和替代我之前所使用的方法去表示的自然數.
我們把表示自然數的一大難題解決了，那麼就只有「如何表示加法？」這個問題了.
同樣，根據之前所推得的自然數集的公理和推論，我們不難可以寫出加法的定義，同時我們也就定義了相等的概念，即根據以推論的公理得到的結論4（有兩條結論）：
若任意數a∈N，則有a+0=a；
（4-①）
若任意數a，b∈N，則有a+b』=(a+b)』.
（4-②）
§4.根據所有所得結論證明原命題
有了之前所有的公理，公理的推論和結論的鋪墊，我們已經可以證明原命題了，即證明：1+1=2.
根據以上所有結論，可得：
1+1 = 1+0』 = (1+0)』 = 1』 = 2.
至此，原命題1+1=2得證.