1+1=2
這個最簡單的公式，
就像是一場人類誕生的「簡潔」慶典。
發現世界上最簡單的公式1+1=2，意味著什麼？
這個連三歲小孩都能秒懂的公式是人類文明誕生的起點，它昭示著自然數的誕生，引發持續數千年的數字大爆炸。數學創生的全部基本公理都蘊含其中。
而它究竟從何而來，又將引領人類向何而去？
人生識字憂患始，人類的所有煩惱，也是不是因為知道了1+1=2呢？
從老祖先開始追溯
早在遠古時代，我們的老祖先就在儲藏獵物、分配食物時，逐漸產生對數的感覺。
當2隻牛、3隻羊、5隻豬擺在一塊，只有這些東西可過冬時，強烈的求生欲使老祖先朦朧地意識到這其中有一種共性，並開始擺弄著自己僅有的10隻手指計數。然而，從這種原始的抽象感覺到具體的「數」的概念的形成，卻經歷了極其漫長的歷史歲月。
因此，當某位古代先祖第一個意識到「1+1=2」，從而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時，就發現了「數學」一個非常重要的性質——可加性，這是人類文明史上一個極其偉大的時刻。
如同鑽木取火，1+1=2的最初使用也僅是迫不得已地為了生存，兩者同樣至少有著30萬年的歷史，造福人類，但自然數的形成卻遠比火的誕生有深遠影響。
1+1=2，關於這個公式，最直觀涉及到的就是自然數和加法。
我們已經無法考證，加法究竟是在何時被人類發明的，因為沒有足夠詳細的文獻記錄，甚至可能沒有文字。但加法的出現，無疑是為了在交換商品或戰俘時進行運算。
「＋」、「－」出現於中世紀。
據說，當時酒商在售出酒後，曾用橫線標出酒桶裡的存酒，而當桶裡的酒又增加時，便用豎線條把原來畫的橫線劃掉，於是就出現用以表示減少的「－」和用來表示增加的「＋」。最後直到1630年，「＋」作為運算符號才得到大家的公認。
而關於自然數的出現，卻比「＋」、「－」開始地更早，大約在1萬年以前，冰河退卻了。石器時代，那些馬背上的遊牧狩獵者，在中東的山內悄悄地開始了一種新的生活。他們摒棄掉兇橫獵殺的本性，開始乖乖下田，播種，進行農耕，這時，如何記錄日期、季節，如何計算收藏穀物數、種子數可難為住了這群四肢發達的壯漢。
特別是在尼羅河谷、底格裡斯河與幼發拉底河流域，還發展起了更複雜的農業社會，這群剛進入新時代的農民還遇到了交納租稅的問題。顯然，過去石器部落文化裡總結的「一」、「二」、「三」、「多」已遠遠不夠用了，人們迫切需要「數」有名稱，而且計數必須更準確些。
然而，沒有人見過自然數，也沒有人知道它是怎麼排列分布的。
它是用以計量事物的件數或表示事物次序的數，它的分布或許是兜兜轉轉一個圈，或許是螺旋交錯纏繞式，或許是放射爆炸發散式的，不同選擇就會有不同的數學世界。但最終數學世界最後選擇的是圖1-1「1、2、3、4、5……」這樣一個不可逆的直線式的有序體系。
圖1-1
如何巧用皮亞諾公理證明？
我們都知道1+1=2，但你是否有想過為什麼1+1就等於2呢？
這個問題，不去深思還好，一深思就像雞生蛋還是蛋生雞這個難題一樣，會把你繞得雲裡霧裡，好在總會有那麼幾位具有哲學思維的數學家愛孜孜不倦地去思考、證明它。
而在這其中，義大利數學家皮亞諾用公理把自然數安放在了數學世界裡面，用五條公理建立了一階算術系統，可以用來推導出「1+1=2」這一數學世界的原點。
公理1：0是自然數。
茫茫的數學宇宙裡，如圖1-2所示，從此有了第一個身影存在——0。
圖1-2
公理2：每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a'，a'也是自然數。
那麼，這個自然數起點「0」是怎麼爆發的呢？後繼陪伴者會以什麼樣的形式出現？調皮地圍著0四處發散，或是偷偷地跑到0的後面，亦或是狠心地留0一個數在那？
公理2做出了選擇，讓偌大的數學空間中，出現的每個數都擁有著一個確定的後繼數陪伴著自己，如圖1-3：
圖1-3
公理3：0不是任何自然數的後繼數。
為了避免後繼者不守規矩跑到0的跟前，公理3確定了0必須也只能是自然數的第一個數。但是防不勝防，這群後繼者可能也沒那麼安分，他們還可能因為同一個姑娘爭風吃醋。也就是說，有可能3的後繼數3' = 3，也可能2的後繼數2' = 3。如下圖1-4，出現這種情況：
圖1-4
公理4：不同的自然數有不同的後繼數。
為避免上述情況，公理4趕忙著出來定義，如果n與m均為自然數且n ≠ m，那麼n' ≠ m'；如果b、c均為自然數，且b' = c' ，那麼b = c；同一個自然數的後繼數相等，不同自然數的後繼數不相等，這樣，3就不可能既是2的後繼數，也是3的後繼數了。但如果出現圖1-5裡2.5這樣的數呢？
圖1-5
為了幹掉2.5這樣非自然數的出現，公理5冒泡了。
公理5：假定P(n)是自然數的一個性質，如果P(0)是對的，且假定P(n)是正確的，則P(n')也是真的，那麼命題對所有自然數都為真。
它還有另外一種形式：設S是自然數集的一個子集，且滿足(i)0屬於S；(ii)如果n屬於S，那麼n'也屬於S；則S是包含全體自然數的集合，即S = N。
這裡的說法可能會有點「繞」，讀者可能不是很理解。具體細剖，這是數學中的歸納公理，也就是說如果有一個自然數的性質，那麼所有自然數都將滿足這個性質，不滿足的就不是自然數。這樣，我們可以定義自然數系：存在一個自然數系N，稱其元素為自然數，若且唯若這些元素滿足公理1-5。
再定義加法是滿足以下兩種規則的運算：
1. 對於任意自然數m，0 + m = m；2. 對於任意自然數m和n，n' + m = (n + m)'。
這樣，我們就可以證明1+1=2：
1 + 1 = 0' + 1 = (0 +1)' = 1' = 2；或者，1 + 1 = 0' + 0' = 0'' = 2。
或者，因為1+1的後繼數是1的後繼數的後繼數，即3；又因為2的後繼數也是3，根據皮亞諾公理4，不同自然數的後繼數不同，所以1+1=2。
這樣，根據皮亞諾五條公理建立起來的皮亞諾一階算術系統，我們就推導出了1+1=2。
哥德巴赫猜想
另一個「（1+1）」
推導出1+1為什麼等於2，並不能為難那些腦路清晰，異於常人的數學家們。怎麼解決世間另一個「1+1」，這才是這群數學家的心頭痛。
哥德巴赫猜想，是數學皇冠上一顆可望不可即的「明珠」，堪稱世界近代三大數學難題之一。
大概在18世紀左右，德國一富家子弟哥德巴赫，厭倦了錦衣玉食的生活，不顧家人阻攔，偏要跑去一名中學教師，還從此一發不可收拾地愛上數學，就連晚上回家休息，也在搗鼓著阿拉伯數字。而他生平最喜歡玩的遊戲竟是加法運算，而且還在玩加法遊戲的過程中發現了一個奧妙：任何大於5的奇數都是三個素數之和。
但令他無奈的是，他越玩越失敗，怎樣也無法證明自己的發現。後來，只能求助於當時數學界的權威大咖歐拉。
1742年6月7日，哥德巴赫寫信給歐拉，提出：任何大於5的奇數都是三個素數之和。隨便取個奇數77，可寫成三個素數之和，77=53+17+7；再任取一個奇數461，461=449+7+5，也是三個素數之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。
沒想到獨眼巨人歐拉居然也被這個問題給為難住了，1742年6月30日，歐拉給哥德巴赫回信：這個命題看來是正確的，但是他也給不出嚴格的證明。為了挽回下自己居然也給不出證明的面子，狡猾的歐拉同時還提出了另一個等價命題：任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和。但這個命題他也沒能給予出證明。
而這樣一個「任一充分大的偶數，都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數，與另一個素因子不超過b個的數之和」命題，就被統記作「a+b」，哥德巴赫猜想（也稱哥德巴赫-歐拉猜想），也就被稱為另一個「（1+1）」。
二進位世界裡的1+1
在德國圖靈根著名的郭塔王宮圖書館，有一份彌足珍貴的手稿，它的標題為：
「1與0，一切數字的神奇淵源。這是造物的秘密美妙的典範，因為，一切無非都來自上帝。」
這是德國天才大師萊布尼茨的手跡，他用幾頁異常精煉的描述，發明了一個神奇美妙的數字系統——二進位，他告訴我們，1 + 1 ≠ 2，在計算機代碼世界裡，1 + 1 = 10。
二進位是計算技術中廣泛採用的一種數制。二進位數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數為2，進位規則是「逢二進一」，借位規則是「借一當二」。當前的計算機系統使用的基本上就是二進位系統，數據在計算機中主要是以補碼的形式存儲的。
可以說，從20世紀第三次科技革命爆發以來，人類就開始進入了計算機時代，我們在虛擬的網絡裡遊戲、社交、狂歡。到現在21世紀，開始致力於人工智慧的開發，而這些東西本質上都是由計算機實現的。
而未來，完全身處於數字時代的我們，必將被二進位代碼全身籠罩，這個世界，1+1就只可能等於2嗎？
結語回到最初的原點
不管是現實生活中簡明易懂的1 + 1 = 2，或是數論世界裡令人絞盡腦汁的「1 + 1」，還是虛擬世界裡的1+1=10，都以其自身的客觀性和普適性在時間的歲月裡不證自明，讓人類能以其為始，在接受這些公式和定理的條件下，繼續用理性的方法推導衍生出萬事萬物。並在萬事萬物中，能輕易地窺視其蹤跡。
欲罷不能的王者榮耀是由0和1的代碼編寫運行；
置放蘋果的天秤則完全滿足可加性的量；
總質量總是等於每個物體的質量之和；
……
1+1=2撐起了人類理性世界的基本運轉，跨越人類文明始終，不需要名稱，不需要翻譯，也不需要解釋。
它無處不在，藏匿於天地之間，本身就擁有著妙不可言的美感。
來源：量子學派
編輯：aki