昨晚為了找到學習的狀態，練了幾題不定積分，發現了一個我以前未曾注意的點，今天用一題來展示，我們先看一下這一題：
初看三個函數相乘，最煩的還是既有三角函數又有x，兩種毫不相干的函數混在了一起，又有secx的四次方，不過若是我們熟悉函數的導數，我們就可以發現，tanx乘secx dx就相當於dsecx，因為secx的導數是tanx乘secx嘛，那麼我們開開心的得到了我們常規用法得到的東西：
常規的的想法絕對是用部分積分就乘出去了是不是，那麼我們就試試唄，看看會得到什麼：
******（此處省略一萬字髒話），這麼複雜的式子再求導開出來不就更複雜了嗎！可是我們再這麼罵娘也沒用，依舊無法解決問題，那麼是不是說明我們的想法有問題呢？或者說，行不通了呢？
由於從這裡開始行不通了，因此我們網上追溯看看哪步開始可以解決問題。
我們一共就寫了兩步，這步不行，那就看看它的上家是不是有問題？
我們看到xsecx三方和dsecx其實也是一頭霧水，我們之所以會出現第二個等號是因為我們通常是這樣用部分積分法展開的嘛，那麼我們試試打破常規，觀察一下！
一般來說，我們想要突破口，一定是從我們已有知識來尋找改變，那麼哪裡有我們已學知識呢？
換元，有理函數。
顯然，有三角函數的肯定不是有理函數了，那麼換元？
換元行得通嗎？顯然不可能行得通，為何？
我們看到，既有x又有三角函數，那麼不管是換secx還是換x都是徒勞，因為又會回到x和三角函數的組合下，可是我們再去想，換元我們要注意什麼呢？
「同學們，換元的時候要注意dx和dt的變換，換元一定要換乾淨！」
老師是不是常說要換就要換乾淨？
那麼和這題有聯繫嗎？難道我們要把secx再求導回去嗎?那不就回去了嗎？那麼我們看看d後面的部分和d前面的部分
xsecx三方，dsecx？
有相同的部分secx，又有什麼聯繫呢？
2xdx=x平方dx
那麼secx三方dsecx是不是可以把secx看成x？
那麼突破口就出現了！
我們嘗試secx三方和dsecx組合！
我去！部分積分好像可行了！
那麼我們部分積分試試：
這樣就清爽多了呢！一切好像又回到了正軌，那麼我們下面主要進攻點就下secx四次方的積分了，我們單獨來看，secx四次方可以拆成（1+tanx方）的平方，可是這樣的話，又出現了tanx四次方的積分，我們就又無從下手了，因此我們下面還不能高興過早，想想怎麼解決這個secx四次方呢？
secx平方是不是tanx的導數？是不是又可以和dx組合了？算了，不管了！死馬當活馬醫！
哈哈，那麼secx平方我們就可以寫成1+tanx平方啦，那麼後面就自然而然出來了！寫寫看！
那麼，此題到現在，我們就完整的解出來了，下面我們寫一下完整步驟！
那麼我們從這題學到了什麼呢？下面總結一下：
當有類似於xdx這樣的形式時，我們就可以再次利用微分把前面的x調到dx部分，當然，x是另一個函數，比如本題就是secx三次方乘dsecx。
做不下去時，我們要返回上面的步驟看看是否可以改變思路來簡化題目。
對於secx平方要敏感的知道它是tanx的導數，因此我們可以對secx高階進行一定的降階得到tanx平方的形式，就回到了我們熟悉的部分。
以上就是今天分享的題目，如果大家有時間，一定要自己嘗試做一遍此題，我覺得它對我來說挺有幫助，因此分享給大家，當然，自己不去思考與理解，看一題記一題是不可能學好數學的，所以我強烈建議大家自己寫一遍！祝大家期末順利，寒假愉快！