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本期講一講費恩斯列爾-哈德維格爾不等式（Finsler-Hadwiger Inequality）。上期說過，它是外森比克不等式更強的推廣。
有一個三角形ABC，與∠A、∠B、∠C相對的三邊長分別為a，b，c。三角形面積記為S。那麼下面的不等式成立：
這就是著名的費恩斯列爾-哈德維格爾不等式。等號只在三角形為正三角形時成立。
我們上期講的外森比克不等式為：
所以，這個費恩斯列爾-哈德維格爾不等式比外森比克不等式右邊多了三項，所以說費恩斯列爾-哈德維格爾不等式更強。
下面我們來證明這個更強的費恩斯列爾-哈德維格爾不等式。設∠A、∠B、∠C的大小分別為α、β、γ。從餘弦定理出發，有
同理，
所以，
與要證明的費恩斯列爾-哈德維格爾不等式進行比較：
發現，只需證明上上式中三個正切函數項的和大於等於根號3即可。這個不難辦到。我們將用到以前講過的琴生不等式（Jensen Inequality）：
[上式中的f(x)為凸函數（下凸函數）。] 具體到這裡，我們設f(x)=tanx。因為α、β、γ都是三角形的內角，所以，它們的一半α/2、β/2、γ/2都小於π/2，並且tan(α/2)、tan(β/2)、tan(γ/2)都是正數。顯然，函數f(x)=tanx在(0, π/2)上是凸函數（下凸函數）。於是對函數f(x)=tanx應用琴生不等式，便有
所以
所以
即
我們便證明了費恩斯列爾-哈德維格爾不等式。