諾頓定理的詳細證明

　　諾頓定理的定義

　　對於一個含獨立電源，線性電阻和線性受控源的一埠網絡，對外電路來說，一般可以用一個電流源和電導（電阻）的並聯組合來等效置換；電流源的電流等於該含源一埠網絡的短路電流（short-circuit current）Isc，而電導（電阻）等於把該一埠網絡中的全部獨立電源置零後的輸入電導Geq（等效電阻Req）。

　　

　　諾頓等效電路可由戴維南等效電路經電源等效變換得到。但須指出，諾頓等效電路可獨立進行證明。

　　如何證明諾頓定理

　　（1）諾頓定理的內容

        任一線性含源單口網絡，對外而言，可以簡化為一個實際電源的電流源模型。此實際電源的理想電流源參數等於單口網絡埠處的短路電流，其內阻等於原單口網絡去掉內部獨立源後，從埠處得到的一個等效電阻。諾頓定理可以用圖1描述如下：

　　

　　圖1中ISC為短路電流，RO為諾頓等效電阻，N網絡為含獨立電源的單口網絡，NO網絡為N網絡去掉獨立源之後所得到的單口網絡。

　　（2）諾頓定理的證明

　　設一線性有源單口網絡N 與外電路相連。如圖2（a）所示，埠ab處的電壓為U，電流為I。現在尋求對外電路而言N網絡最簡單的等效電路。首先，用替代定理將外電路用一個電壓源US=U代替，如圖2（b）所示。

　　

　　根據疊加定理，N網絡埠處的電流I可以看成由網絡內部電源及網絡外部電源US共同作用的結果，即

　　I= P+P

　　式中為外部電源去掉後（電壓源短路）時的埠電流，即含獨立電源的單口網絡N的短路電流，即

　　P=Isc

　　式中P為N網絡內獨立電源是零（電壓源短接，電流源開路）時的埠電流，NO對外等效為一個內阻RO，則

　　

　　由上式畫出一電路正好是一個電流源與一個電阻支路並聯，電流源的電流等於含獨立源二端網絡的短路電流，並聯電阻等於將N網絡內部所有電源置零後得到的NO網絡從埠看進去的等效電阻RO，如圖3所示。這就證明了諾頓定理。

　　

　　諾頓定理的驗證

　　一、實驗原理

　　1）任何一個線性含源網絡，如果僅研究其中一條支路的電壓和電流，則可將電路的其餘部分看作是一個有源二端網絡（或稱為含源一埠網絡）。

　　戴維南定理指出：任何一個線性有源網絡，總可以用一個電壓源與一個電阻的串聯來等效代替，如圖6-1

　　

　　此電壓源的電動勢Us等於這個有源二端網絡的開路電壓Uoc， 其等效內阻R0等於該網絡中所有獨立源均置零（理想電壓源視為短接，理想電流源視為開路）時的等效電阻。

　　諾頓定理指出：任何一個線性有源網絡，總可以用一個電流源與一個電阻的並聯組合來等效代替，如圖6-2

　　

　　2、有源二端網絡等效參數的測量方法

　　（1）開路電壓、短路電流法測R0

　　在有源二端網絡輸出端開路時，用電壓表直接測其輸出端的開路電壓Uoc，然後再將其輸出端短路，用電流表測其短路電流Isc，則等效內阻為。如果二端網絡的電阻很小，若將其輸出埠短路則易損壞其內部元件，因此不宜用此法。

　　（2）伏安法

　　用電壓表、電流表測出有源二端網的外特性曲線，如圖6-3所示。根據 外特性曲線求出斜率tgφ，則內阻 為R0=。

　　

　　用伏安法，主要是測量開路電壓及電流為額定值時的輸出端電壓，則內阻為R0=。若二端網絡的內阻值很低時，則不易測其短路電流。

　　（3）半電壓法測R0

　　如圖6-4所示，當負載電壓為被測網絡開 路電壓的一半時，負載電阻（由電阻箱的讀數確定）即為被測有源二端網絡的等效內阻值。

　　

　　（4）零示法測UOC

　　在測量具有高內阻有源二端網絡的開路電壓時，用電壓表直接測量會造成較大的誤差。為了消除電壓表內阻的影響，往往採用零示測量法，如圖6-5所示。

　　

　　零示法測量原理是用一低內阻的穩壓電源與被測有源二端網絡進行比較，當穩壓電源的輸出電壓與有源二端網絡的開路電壓相等時，電壓表的讀數將為「0」。然後將電路斷開，測量此時穩壓電源的輸出電壓， 即為被測有源二端網絡的開路電壓。

　　二、實驗設備

　　

　　三、實驗內容

　　被測有源二端網絡如圖6-6

　　

　　1、用開路電壓、短路電流法測定戴維南等效 電路的Uoc、R0和諾頓等效電路的ISC、R0。

　　按圖6-6（a）接入穩壓電源Us=10V和恆流源Is=10mA。 接入負載RL。測出UOc和Isc，並計算出R0。

　　

　　2、負載試驗

　　按圖6-6（a）接入RL，改變RL阻值，測量有源二端網絡的外特性曲線。

　　

　　

　　3、驗證戴維南定理：用一隻470歐姆的電位器作為R0， 將其阻值調到步驟「1」時所測得的電阻R0的值，然後令其與直流穩壓電源（調到步驟「1」時所測得的開路電壓Uoc之值）相串聯，如圖6-6（b）所示，仿照步驟「2」測其外特性，對戴氏定理進行驗證。

　　

　　

　　4、驗證諾頓定理：用一隻470歐姆的電位器作為R0，將其阻值調整到等於按步驟「1」所得的等效電阻R0之值， 然後令其與直流恆流源（調到步驟「1」時所測得的短路電流ISC之值）相併聯，如圖6-6（c）所示，仿照步驟「2」測其外特性，對諾頓定理進行驗證。

　　

　　

　　5、有源二端網絡等效電阻（又稱入端電阻）的直 接測量法。見圖6-6（a）。將被測有源網絡內的所有獨 立源置零（將電流源IS斷開，去掉電壓源US，並在原電壓源所接的兩點用一根短路導線相連），然後用伏安法或者直接用萬用表的歐姆檔去測定負載RL開路時A、B兩 點間的電阻，此即為被測網絡的等效內阻R0，或稱網 絡的入端電阻Ri 。

　　6、用半電壓法和零示法測量被測網絡的等效內阻R0及其開路電壓Uoc。線路及數據表格自擬。

　　四、實驗注意事項

　　1、測量時應注意電流表量程的更換。

　　2、步驟「5」中，電壓源置零時不可將穩壓源短接。

　　3、用萬用表直接測R0時，網絡內的獨立源必須先置零，以免損壞萬用表。其次，歐 姆檔必須經調零後再進行測量。

　　4.、改接線路時，要關掉電源。

　　五、實驗報告

　　1、根據步驟2、3、4，分別繪出曲線，驗證戴維南定理和諾頓定理的正確性， 並分析產生誤差的原因。

　　2、根據步驟1、5、6的幾種方法測得的Uoc與R0與預習時電路計算的結果作比較，你能得出什麼結論。

　　諾頓定理的注意事項

　　（1）諾頓定理只對外電路等效，對內電路不等效。也就是說，不可應用該定理求出等效電源電動勢和內阻之後，又返回來求原電路（即有源二端網絡內部電路）的電流和功率。

　　（2）應用諾頓定理進行分析和計算時，如果待求支路後的有源二端網絡仍為複雜電路，可再次運用諾頓定理，直至成為簡單電路。

　　（3）諾頓定理只適用於線性的有源二端網絡。如果有源二端網絡中含有非線性元件時，則不能應用諾頓定理求解。

　　

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