[大講堂]牢記二次函數圖象與a、b、c的關係,瞬間解答難題

2020-12-06 周老師數學課堂

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我們知道拋物線在初中是一個重點,也是一個難點,更是每年的考點。同學們在學習中也是談線色變,當然二次函數的確有些難度,但是掌握一些學習技巧,也能將難點轉代為易點。

今天,我想與初三的同學聊聊二次函數圖象與a、b、c的關係,首先老師給同學製作了一張關係圖

從這張圖上我們可以一目了然地判斷a、b、c的取值範圍與二次函數圖象之間的關係,希望同學們牢記。

下面我再把這種關係延伸一下,先請看圖

對於二次函數y=ax2+bx+c (a≠0),當x=1時,就會出現三種現象

若y=0,則 a+b+c=0;

若y>0,則 a+b+c>0;

若y<0,則 a+b+c<0。

上面這幾種關係,有時我們在解題時也會用到。現在結合真題講解這些關係,在解題的過程中是如何運用的,請同學們跟著我學習。

[真題講解]

二次函數y=ax2十bx+1(a≠0)的圖象的頂點在第一象限,且過點(- 1 ,0)。設t=a+b+1,則t值變化的範圍是______。

[考點]

二次函數圖象與係數的關係,不等式的性質

[解析]

由二次函數的解析式,我們可以知道,當x=1時,y=t=a+b+1。把點(- 1,0)代入y=aX2+bX+1,得到a-b+1=0,然後根據頂點在第一象限,可以畫出草圖並判斷出a與b的符號,進而求出t=a+b+1的變化範圍。

[解答]

∵二次函數y=aX2+bX+1的頂點在第一象,且經過點(-1,0),

∴得到: a-b+1=0,a<0,b>0,

由a=b-1<0得到b<1,結合上面b>0,

∴0<b<1 ①,

由b=a+1>0 得到a>-1,結合上面a<0

∴-1<a<0 ②,

∴由①+②得:-1<a+b<1,

在不等式兩邊同時加上1得: 0<a+b+1<2,

∵t=a+b+1代入得 0<t<2,

∴0<t<2

所以答案為: 0<t<2

本題主要考查二次函數圖像與係數之間的關係,不等式的性質,有些難度,如果同學們掌握了上面關係圖中的知識,根據題意,就可以畫出拋物線在坐標中的草圖,利用數形結合的思想解題,此題解出也非常容易,因此,我們在學習二次函數時,對於二次函數的基本性質,以及二次函數圖象與系的關係,一定要牢記,這才會更加幫助我們簡單學好二次函數。

好了,以上就是今天的學習內容,不知你弄明白了嗎?

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