今天事情比較多，所以暫時不好好排版了，望諒解~
平面波和布裡淵區：
Bloch定理(布洛赫定理)：
Bloch波由一個平面波和一個周期函數u(r)（Bloch包）相乘得到，其中u(r)和勢場具有相同的周期性，Bloch波的具體形式為：ψ(r)=exp(ik·r)u(r)，式中k為波矢，而上式表達的波函數稱之為Bloch函數，當勢場具有晶格周期性，其中粒子所滿足的波動方程的解ψ的存在性質：ψ(r+Rn)=exp(ik·Rn)ψ(r)，即Bloch定理。其中Rn為晶格周期矢量，可以看出，有上述性質的波函數可以寫作Bloch函數的性質。平面波波矢k（又稱「布洛赫波矢」，它與約化普朗克常數(ћ=h/(2π))的乘積即為粒子的晶體動量）表徵不同原胞間電子波函數的位相變化，其大小只在一個倒易點陣矢量之內才與波函數滿足一一對應關係，所以通常只考慮第一布裡淵區的波矢。對一個給定的波矢和勢場分布，電子運動的薛丁格方程具有一系列解，稱為電子的能帶，常用波函數的下標n 以區別。這些能帶的能量在k的各個單值區分界處存在有限大小的空隙，稱為能隙。在第一布裡淵區中所有能量本徵態的集合構成了電子的能帶結構。在單電子近似的框架內，周期性勢場中電子運動的宏觀性質都可以根據能帶結構及相應的波函數計算出。
簡單來說，在超晶胞的周期性系統內求解薛丁格方程，它的解即滿足Bloch定理的特點，其中u(r)在空間中具有和超晶胞相同的周期性，對任意整數n1、n2、n3 ，都有u(n1a1+n2a2+n3a3+r)=u(r)。該定理意味著可以用每一個k值分別獨立求解薛丁格方程，同時也適用於薛丁格方程這些解衍生出來的其他物理量，比如電荷密度。很多時候使用波矢k進行計算比使用r更加方便。矢量r對應的空間稱之為實空間，矢量k對應的空間稱之為倒易空間（簡稱為k空間）。在實空間裡可用晶格矢量a1、a2、a3確定位置，同樣在虛空間裡也可以定義三個矢量b1、b2、b3確定位置，也就是所謂的倒格矢，並且如果i=j則ai·bj等於2π，否則等於0，實空間中的晶格矢量越大，倒易空間中對應的倒格矢越小，倒格矢與實空間中的晶格矢量成正比。倒格矢所定義的幾何形狀不一定與實空間中超晶胞的形狀完全相同。
同樣我們也可在倒易空間定義一個晶胞，把它稱之為布裡淵區（Brillouin Zone，BZ）。其中布裡淵區中最重要的點即k=0處，在k空間中把它稱之為Γ點。
布裡淵區的體積和實空間原胞的體積對應關係：
k空間的積分：
在平面波DFT的計算中，所需要進行的大量工作可以歸納為求算下述形式的積分值：
該積分的特點是，它是在倒易空間中所定義的，並對布裡淵區所有可能的k值進行了積分。對於一維積分使用梯形圖解法，精確度低；另一種方法稱之為高斯求積（Gaussian Quadrature）法：
式中xj對應於正交多項式的根，權重cj對應於與這些多項式的積分有關。此方法的收斂速度精度大於梯形圖解法。
故以上方法對多維函數求積分應用方法如下：
I. 通過將被積函數在一系列離散點上進行估值，並在每一點上使用合適的權重，再對這些函數值進行加和即可近似求解此積分。
II. 隨著加和使用的離散點數目的增加，這種數值方法可以給出更精確的結果，當使用的點非常多並對其取極限時，該數值方法就收斂於積分的精確解。
III. 在近似求解函數的積分時，對位置和權重的不同選擇，會極大地影響該數值方法收斂到精確結果的速度。
在布裡淵區中選擇k點
Monkhorst-Pack方法是目前在DFT計算中選定k點最常用的方法，使用此方法，所需做的僅僅是確定在倒易空間中每個方向上選定k點的數目，對於三個晶格矢量長度相等的超晶胞，其倒格矢長度也相等，故在每個方向使用相同數目的k點是自然的，若每個方向上都使用了M個k點則可標記為使用了M×M×M個k點。其中使用的k點數目越多，結果更加精確，當M大於8的時候，總能幾乎與k點數無關，k空間裡的所有計算內容幾乎都收斂良好。如果M是奇數則對於M和M+1，兩者的計算時間近似相等，原因是這些計算大量運用了FCC理想晶體中存在的大量對稱性。這些對稱性意味著倒易空間的積分並不需要全部布裡淵區來估算，而是可以用一部分去估算這個積分，而根據對稱性不需要任何近似就可以使這部分區域擴充整個布裡淵區，這個k空間內縮小的最簡部分就是不可約布裡淵區（Irreducible BrillouinZone，IBZ），對於理想晶體FCC等高對稱性材料使用IBZ可以極大地簡化計算。故由此可以說明奇數和偶數計算時長近似相等的原因：它們在IBZ中具有相同的獨立k點數，在Monkhorst-Pack方法中使用奇數M給出的k點包括IBZ邊界的k點（比如Γ點）而偶數M+1隻給出了IBZ內部的k點，也就是說使用少量k點時，使用偶數會比使用奇數M的收斂性好一些，且兩者計算速度幾乎相同，但對某些情形比如考察電子結構時應將Γ點包含在內。需要注意的是k空間的收斂性仍與全部布裡淵區的k點密度有關。
需要注意的是，當計算兩種構型的相對能量時，相對能量ΔE的收斂速度比絕對能量即各自的總能快，因為對某個原子構型的積分值在任何k點的集合上所得到的數值估算值都會與該積分的真值之間存在一定系統誤差，如果對於兩種構型比較相似的原子（使用的k點也會相對相似），則兩者的系統誤差也是非常接近的，這意味著求解相對能量時其系統誤差會被抵消，得到的相對能量收斂即比絕對能量更加精確。若對於晶體結構完全不同的兩個構型則以上論斷不成立。
取值方法：[晶格矢量長度（單位：埃）×該矢量上的k點數取值數]符合下麵條件：
對d區金屬滿足乘積接近30埃；
對一般金屬滿足乘積接近25埃；
對半導體滿足乘積接近20埃；
對絕緣體滿足乘積接近15埃。 對三個方向的k點數分別取值。
取值以後應作收斂性測試，逐步提高k點數的取值進行測試，直到待測值趨於平緩。應儘量使每個方向上的k點密度儘量相同。
金屬-k空間的特例
金屬的一個定義表述中：在金屬中布裡淵區可以分為電子的已佔滿和未佔滿的兩個區域。k空間中將這兩個區域分開的面稱之為費米面（Fermi Surface），而這一情形的k空間積分計算相當複雜，因為被積函數從非零值不連續地變化為零（在費米面上），而不是連續函數，故計算這些積分時如果沒有採取其他措施就需要使用大量的k點才能給出高收斂精度的結果。
為了改善金屬收斂速度慢的問題開發出了許多有效計算方法，第一個方法稱之為四面體（Tetrahedron）方法，其思想是：使用一個離散的k點集合來定義一個完全充滿倒易空間的四面體，並使用內插法，在四面體的每一個點上確定被積函數值。最簡單的情形是在每個四面體的內部使用線性內插法，一旦完成了數值內插，則在k空間所有位置上該被積函數都有簡單形式，從而可以使用整個空間來估算積分而不是僅僅使用初始的離散點。
Blcöhl開發了該方法的另一個版本，並使用了超越線性內插的其他內插方法。
第二個方法稱之為模糊化方法（Smearing Methods），其思想是：通過模糊化處理其不連續性，強迫這些函數進行連續積分。如Fermi-Dirac函數：
容易看出當Fermi-Dirac函數的σ逼近0的時候，該函數即趨近於臺階函數。模糊化函數的思想就是將任何臺階函數替換為如Fermi-Dirac函數的光滑連續函數再用常規方法進行積分。理想狀況下即使用特殊方法將計算結果外推並得到最終極限值，從而使模糊化得以消除，對於Fermi-Dirac函數即σ→0。
Methfessel-Paxton方法是一個廣泛使用的模糊化方法，他們使用了更加複雜的函數表達式，但依舊使用單一參數σ表徵。
k空間的總結
I.在對某感興趣的體系進行大量的DFT計算前應該先考察計算結構對k點數量的收斂性。
II.注意表明計算中使用的k點數量，否則難以對結果再現。
III.增大超晶胞的體積減少了達到收斂時的所需要的k點數量，因為實空間體積的增大對應倒易空間的體積減小。
IV.如果計算中涉及到不同體積的超晶胞並需要對其結果進行比對，則在倒易空間選定k點時，需要使不同超晶胞倒易空間中的k點密度大致相同。
V.對稱性可以約化k點計算，但整體的收斂性是由全布裡淵區（Full Brillouin Zone）的k點密度決定的，而不僅僅是IBZ的k點數目。
VI.對於金屬必須使用合適的近似方法才可以更精確地處理k空間問題。