先給出非常肯定的答案：一個理想中的標準圓錐體，在理論上也不能以它的定點站立保持平衡。這涉及到物理學的核心問題，就是絕對參照系不存在、絕對剛體也不存在，現實不是我們抽象出來的在紙面上的幾何圖形，也不是那個簡單的經典公式。
一、什麼是物理學中的力學平衡態？
當一個質點、剛體或質點系的速度矢量為常矢量時，就稱該物體或系統處於力學平衡或機械平衡狀態。特別地，當一個靜止的質點或質點系處於力學平衡狀態時，該質點或質點系即處於靜力平衡或靜態平衡狀態。物體的力學平衡狀態在任何和該物體相對靜止的參考系中均不變。
很顯然，在題主的這個問題我們可以用物理學的語言來描述就是，一個組成圓錐體的質點系，在相對靜止的參考系（地球）中，能否保持穩定倒立？
二、牛頓引力的高級版本：拉普拉斯方程
剛看到這個問題的時候，以為很簡單，一衝動就點進來了，但細一思量，這個問題的背後真的不簡單。關於在萬有引力條件下，穩定性的問題，其實早在牛頓那個年代，就已經被數學家拉普拉斯提出來了，他的問題是：我們的太陽系是穩定的嗎？
當時牛頓認為是穩定的，因為「上帝會在合適的時間加以調節」。但拉普拉斯用了25年時間寫了五卷《天體力學》，證明了一大堆關於擾動，軌道之類的結論，然而，還是沒有完全搞明白這個問題，但他大致可以證明，我們的太陽系是穩定的。
三、拉普拉斯方程與理想圓錐頂點穩定倒立的關係
太陽系的穩定問題，其背景只是牛頓萬有引力。牛頓萬有引力，在空間的每個點都有一個力的大小和方向，因此，我們說，力是一個矢量場，這個矢量場可以看成是一個標量函數的微分。這個標量函數就是勢能。
在真空中，引力勢能滿足拉普拉斯方程，換句話說，在真空中，引力場的散度是零，或者等價地說，就是真空中沒有質量分布。
如果您很熟悉拉普拉斯方程，那麼您一定會注意到，這個方程有一個非常好的性質，就是你隨便畫一個球面，那麼引力勢在球面上的平均值等於球心處的引力勢。根據這個特點，我們可以推論，邊界上才可能出現勢函數的極值（最大值或最小值）。
當我們用拉普拉斯方程來計算這個理想圓錐體所處的引力勢的時候，這個圓錐體是一個軸對稱結構，所以圓錐體所處的引力勢作為一個函數與旋轉角度無關，引力勢函數分布滿足拉普拉斯方程。
但怎麼計算這個圓錐體附近的引力勢分布呢？必須要加上無限遠處的邊界條件才能求解，問題是加什麼樣的邊界條件。
如果從拉普拉斯方程的角度來解讀牛頓的萬有引力，會發現如果要決定這個空間的引力場分布，必須要知道在無限遠邊界上的引力分布情況，但是無限遠在哪裡呢？那裡的引力勢能分布一般被認為是零，這隻有對孤立系統才成立，對於宇宙這樣的系統，是不對的。這也是牛頓引力的一個疑難：邊界疑難。
四、恩紹定理確認理想圓錐無法實現穩定頂點倒立
恩紹定理指出點粒子集不能被穩定維持在僅由電荷的靜電相互作用構成的一個穩定靜止的力學平衡結構。如果我們換個角度來說這個定理，就是點粒子集不能被穩定維持在僅由滿足平方反比定律作用力構成的一個穩定靜止的力學平衡結構。
而倒立的理想圓錐和萬有引力正是這樣一種結構，所以它是不可能處於穩定靜止的力學平衡狀態的。
如果您是物理學的研究者，或者您接觸過質譜儀，那麼您一定知道，一塊永久磁鐵在恆定的磁場中的勢能只可能取到鞍點，而不可能具有最低點，這就是恩紹定理的另一種描述方式。換句話說，你永遠不可能把一塊永久磁鐵穩定地方在另外一塊永久磁鐵上。
同樣，恩紹定理也是可以通過拉普拉斯方程來證明。
五、引力場中理想圓錐體不存在
其實我們說引力場中理想圓錐體更準確的說是引力場中真正的剛體是不存在的。如果要展開說，我們又需要再詳細介紹一下廣義相對論，這裡您了解一下這個結論就可以了。
雖然愛因斯坦的引力場方程並不是拉普拉斯方程，但是它與拉普拉斯方程很像。考慮一個簡單的時空，這個時空中含有一個類時的凱琳場。在這樣的時空中拉普拉斯方程可以被改寫成微分幾何的形式。
具體的推導過程，您可以看一下霍金寫的《大尺度時空結構》。您可以從這個微分幾何形式的拉普拉斯方程中頓悟出愛因斯坦場方程的形式來。不過這種事，也不是一般人能做到的。
但是，在彎曲空間裡，還有平均值定理嗎？這個時候，如果我們還像前面一樣，隨便畫一個球面，然後期望得到球面上的某個調和函數的平均值等於球心的函數值，答案當然是沒有這樣好的結果了，但仍然可以有一些類似的數學結論。
搞出這種結論的是數學家丘成桐曾經研究的問題，所謂的調和分析，就是解拉普拉斯方程。
結束語
從前面我們的分析可以得出這樣的結論，不論是從牛頓力學還是廣義相對論出發，一個理想圓錐都是不可實現靜態穩定的頂點倒立的。因為孤立系統不存在或者說是絕對靜止不存在，同時也因為絕對剛體不存在或者說是時空是彎曲的。這都導致，能夠產生平衡態的那個函數極值點是不存在的。
這個回答有些燒腦，但還是期望各位大神慢慢理解。我是郭哥聊科學，普及科學知識，傳播科學思維，持續輸出高質量的科普文章。