最具爭議的幾個數學事實,顛覆你的思維

2020-11-26 Maths小妙招

數學是一門嚴謹的學科，但是總有些出人意料的數學題，他們都具有悖論和概率的特性，而且總是能引起一些爭論。下面分享幾個有趣事實，顛覆你的思維？

1.偶數（奇數）與自然數一樣多

偶數與自然數，哪一種數多？這時，恐怕很多人都會說：「當然是自然數比偶數多了。」可能還會有人說：「偶數個數等於自然數個數的一半！」什麼道理呢？因為奇數與偶數合起來就是自然數，而奇數與偶數是相間排列的，所以奇數與偶數一樣多，其個數都是自然數的一半。

自然數包括偶數，偶數是自然數的一部分，自然數比偶數多這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？聽起來好像確實是這麼一回事，可事實是不是這樣的呢？

16世紀，義大利著名科學家伽利略也曾研究過這個問題。他曾提出過一個著名的悖論，叫作「伽利略悖論」，內容類似偶數和自然數一樣多。這似乎違背常識，因為在1～10中，你只要數一下，就可以知道自然數有10個，偶數有5個，兩者相比較，很清楚，自然數比偶數多5個。但畢竟自然數和偶數可遠不止那幾個，所以在比較兩者數量的時候這往往是不正確的，為此伽利略提出了無限的問題。對於無限的數量，數的辦法是不行了，因為無限多是永遠數不完的。

那有什麼方法可以用來比較它們的數量呢？其實，我們可以用「一對一」的方法來進行比較。一一對應是比較物體的個數是否相等的最簡便、最直接的方式。

自然數集 偶數集

1← →2

2← →4

3← →6

4← →8

... ...

我們發現兩者的數量一樣多，但是根據現有理論得出的結論卻違反常理，這個問題最終以康託爾的集合論創立而解決．

康託爾

根據康託爾的理論，它把無限集分為可數集與不可數集，可數集是指集合裡的元素能與正整數形成一一對應的關係的集合；從這個角度說，奇數能與正整數形成一一對應關係，偶數也能與正整數形成一一對應的關係，故奇數與偶數個數是相等的，同理自然數與正整數形成一一對應的關係，那自然數與奇數一樣多，自然數與偶數也一樣多；是不是很奇妙！

2. 0.999999999999999(無限循環）=1

很多人看到這個式子時，第一感覺是等式不成立，造成這種原因是我們很多人無法理解無限的概念。

其實早在 1770 年，大數學家歐拉在他的《代數的要素》中證明了一個類似的等式： 10＝9.999... ，縮小十倍是不是就是以上我們看到的等式？

在歐拉之後極限這個概念出現之後，漸漸出現了以下這種更為形式化的極限證明方式：

0.999999999999999(無限循環）=9/10+9/100+9/1000+…無限加下去，這是個等比級數，且當公比|q|<1時,這個級數就收斂，也就是有極限，極限值為a1/(1-q)，所以這個級數當n趨於無窮時就收斂於0.9/（1-0.1）=1

一石激起千層浪，這個問題引起了科學界廣泛而持久的討論，在這個問題引發爭論之後，各路數學豪傑均試圖證明這個等式。

大衛·福斯特·華萊士在他的 《Everything and More》一書中給出了一個著名的證明方式：

令 x = 0.999...

所以 10x = 9.999...

兩式相減得 9x = 9

所以 x = 1

歷經幾百年，很多偉大的數學家給出了自己的證明方式。我選取了以下簡潔優美的證明過程：

有除法：1/3 = 0.3333333（無限循環）

兩遍同乘3：3 * 1/3 = 3 * 0.3333333（無限循環）

得：1 = 0.9999999（無限循環）

儘管隨著時間的推移，一代代人的不懈努力，證明是越來越完備了，但是人們的疑惑卻從來沒有因此而減少。當大家看到這個等式之後，總是會大吃一驚地說：你特麼逗我呢，這怎麼可能呀，0.999… 顯然應該比 1 小呀。歷久彌新，時至今日這個等式的魅力依然不減。

3.男孩（女孩）謬論

這個問題是這樣的：假如一個家庭中有兩個孩子,其中一個孩子是男孩,那麼第二個孩子也是男孩的概率有多大呢?

很多人看到這個問題時候，肯定會不加思索說是1/2，因為第二個孩子要麼男孩，要么女孩，概率當然是1/2，事實真是如此嗎？正確答案是1/3，很多人就有疑問了，哪算出來荒謬的1/3。

我們一起來分析下：兩個孩子總的可能性有：哥哥弟弟，哥哥妹妹，姐姐弟弟，姐姐妹妹四種情況，其中一個男孩的概率3/4，兩個都是男孩的概率是1/4，而題目問的是在一個男孩的基礎上第二個是男孩的概率，這是一個條件概率的問題，答案是1/4÷3/4=1/3

看完上面你是否感覺要懷疑人生了，但這些卻都是無可爭辯的事實。其實數學這門學科，如果你認真去思考，你會發現其實很有趣，很好玩。

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