說到違反直覺，那麼這個必須要提著名的「三門問題」，亦稱為蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，該問題出自美國一檔電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題名字就來自該節目的主持人蒙提·霍爾。
這個遊戲的玩法如下，非常簡單：
現場有三扇關閉了的門，其中一扇的後面有輛跑車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。參賽者需要從中選擇一扇門，如果參賽者選中後面有車的那扇門就可以贏得這輛跑車。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。接下來參賽者會被問到：是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門？
那麼問題來了，請問如果你是參賽者，為了得到門後的跑車大獎，你會做哪種選擇，使得自己獲獎的概率會更大呢？
或者增加點難度，換和不換的獲勝概率分別是多少呢？
為了避免歧義和誤解，先明確遊戲具有如下的限制條件：
參賽者只能在三扇門中挑選一扇，而且他並不知道內裡有什麼。 主持人卻是明確知道每扇門後面有什麼。 主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
那我們可以按照日常直覺分析如下：
參賽者在做出最開始的決定時，對三扇門後面的事情一無所知，因此他選擇正確的概率是1/3，這個非常直觀，合乎直覺。然後，主持人排除掉了一個錯誤答案（有羊的門），於是剩下的兩扇門必然是一扇是羊，一扇是跑車，那麼此時無論選擇哪一扇門，勝率都是1/2，依然合乎直覺。所以感覺上，參賽者換不換都無必要，獲勝概率均為1/2。
過程和結論是不是非常簡單直觀，簡直too simple， sometime naive。
但事情並沒有這麼簡單，其實在這個「三門問題」剛被提出的時候,在美國國內引起了相當大的關注，自然而言也引發了一些學者的關注。比如以下這位女大神，瑪麗蓮·沃斯·莎凡特，一位漂亮的不像實力派的牛人。
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特——吉尼斯認定的最高智商人類（IQ：228）
對於這個問題，著名的高智商學者，吉尼斯認定的最聰明人類——莎凡特在她專欄的回答是改選會更有優勢。
她認為換了之後有2/3的概率贏得車，不換的話概率只有1/3。
連結地址：Game Show Problem
Yes; you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, but the second door has a 2/3 chance. Here’s a good way to visualize what happened. Suppose there are a million doors, and you pick door #1. Then the host, who knows what’s behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door #777,777. You』d switch to that door pretty fast, wouldn’t you?是的，你應該換。你第一次選的門只有1/3勝率，但是剩下的另一扇門卻有2/3的機會。所以你應該立馬選擇另一扇門，不是麼？
雖然智商是我2倍的女大神發話了，但是，這個結論似乎和直覺有點不一樣，難道換不換不應該都是1/2嗎？
黑人問號。。。
其時不光是現在的部分讀者會覺得這個答案奇怪且荒謬，當時莎凡特的回答在美國也是引起了激烈的爭議，甚至於一些批評和人身攻擊：
當時人們非莎凡特寄來了數千封抱怨信，很多寄信人都是具備一定文化水平的老師或學者，不少人對此猛烈批評，甚至使用了十分過激的攻擊字眼。
比如一位來自佛羅裡達大學的讀者寫道：「這個國家已經有夠多的數學文盲了，我們不想再有個世界上智商最高的人來充數！真讓人羞愧！」
另一個人陰陽怪氣地對她嘲諷道：「我看你就是那隻山羊！」
美國陸軍研究所的工作人員埃弗雷特·哈曼寫道，「如果連博士（莎凡特）都會犯這種錯誤，我看這個美國馬上要陷入嚴重的災難中了。」
因為直覺告訴這些寫信的人們：如果被打開的門後什麼都沒有，這個信息會改變剩餘的兩種選擇的概率，哪一種都只能是1/2。
經過統計，持有上述這種觀點的大約有十分之一是來自數學或科學研究機構，有的人甚至有博士學位。
還有大批報紙專欄作家也開始加入了聲討莎凡特的行列。在這種情況下，莎凡特選擇向全國的讀者和粉絲求救，後來有數萬名學生進行了模擬試驗。一個星期後，實驗結果從全國各地反饋回來，經過莎凡特的統計得出，結論就是2/3和1/3。
例如根據福爾曼大學的埃勒維茲·魯迪的反饋，因為數學課上的大部分老師認為莎凡特是錯誤的。於是25名老師帶著學生們去中學做了大量實驗，得到了1480個樣本，最後卻證明了莎凡特是正確的，即應該換門。
The teachers in my graduate-level mathematics classes, most of whom thought you were wrong, conducted your experiment as a class project. Each of the twenty-five teachers had students in their middle or high school classes play at least 400 games. In all, we had 14,800 samples of the experiment, and we’re convinced that you were correct—the contestant should switch!Eloise Rudy, Furman University，Greenville, South Carolina
雖然上個世紀七十年代，電腦和模擬仿真都是稀罕物。但隨後，麻省理工的數學家和阿拉莫斯國家實驗室的程式設計師都宣布，他們用計算機進行模擬實驗的結果，支持了莎凡特的答案。
時隔三十多年後，著名節目《流言終結者》也做實驗，一是由於該問題的反直覺，即使時隔多年，照樣有人會感到困惑，其次是傑米和亞當這對好基友，再次強有力的印證了莎凡特的答案。
看吧，其中後面的板子共有49個格子，左邊的代表是不換，右邊的代表是換，隨機進行49次實驗，板子上被標紅的代表選擇到了跑車大獎。換羽不換的孰優孰劣，一目了然。以至於主持人稱讚道「Totally confirmed」。
可以看出，這是一個概率論和人的直覺不太符合的例子，這告訴我們在做基於量化的判斷的時候，要以事實和數據為依據，而不要憑主觀和直覺來決定。下面是正確的分析，記得我第一次看這道題目是中學，當時我也是堅信換不換都是1/2。
那麼1/3和2/3究竟是怎麼來的呢？
那就是有一個十分重要隱藏條件：
顯然，作為知道答案的主持人，不可能選擇開啟有車的門。所以他永遠都會挑一扇有山羊的門，也就是說主持人選擇開啟其中一扇門時，他的選擇並不是一個純隨機事件。
那麼有以下推論。
如果參賽者選擇了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。 如果參賽者選擇了一扇有跑車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。我們可以遍歷所有可能性，那麼假設參賽者選擇1號門，那麼如下圖所示，存在3中等可能情形：
參賽者選擇汽車 主持人選擇山羊甲 轉換失敗參賽者選擇山羊甲 主持人選擇山羊乙轉換成功參賽者選擇山羊乙 主持人選擇山羊甲 轉換成功
可見轉換選擇後的成功概率就是2/3.
我還想跟大家介紹一個非常有用的數學工具——貝葉斯公式，可以很簡單的解決這個問題。
我們用事件A代表你第一次選擇的門後是跑車，B代表主持人翻開的門後是山羊。那麼已知B的情況下，A發生的條件概率 P{A|B} 用貝葉斯公式可得：
顯然，第一次選對的概率，即 P{A}=1/3，無需贅述。但是由於不知道主持人的行為，所以無法計算 P{B|A} 和 P{B}。
那麼我們具體分析：因為主持人知道門後對應的東西，所以只選擇開啟有羊的門，於是
主持人一定選擇山羊，事件 B 一定發生：P{B|A} = 1主持人一定選擇山羊，事件 B 一定發生：P{B} = 1
那麼 P{A|B} = 1/3，所以不換的勝率是1/3，因此一定要換。
那麼如果改變條件，主持人並不知道門後有什麼東西，那麼：P{B|A} = 1而 P{B} = 1/3 * 1 + 2/3 * 1/2 = 2/3，得到 P{A|B} = 1/2 。
也就是是說，這種情況下才是換與不換都無所謂的1/2，而顯然要求的主持人不知道門後有什麼東西，和遊戲的限制條件不符合。也就是說1/2肯定是錯誤的。附加題：開心辭典比賽中，每道題目有4個選項，其中1個選項正確，另外3個選項錯誤。那麼你作為參賽者，面對一道完全不會的題目，於是先隨機選了一個答案。之後使用錦囊去除了一個錯誤答案。其原則是如果逆選擇正確，那麼在剩下3個錯誤答案中任意去處1個；如果你的選擇錯誤，則在剩下2個沒被選擇的錯誤答案中任意去處1個。那麼之後要不要換選項？換和不換概率分別是多少？聰明的同學們，你們知道答案了嗎？請給本文留言。
轉載自：知乎
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