什麼是「構成主義」?為什麼我們需要它?

2021-02-19 原理

假如有一個只包含0和1的無窮序列,其中可能包含0,也可能不包括;同樣,它或許包含1,也或許沒有。但是,這個序列存在最大的數嗎?

「是的。」數學家的答案會是——當然存在。因為如果這個序列中只要有一個1,那最大數字自然就是1;否則,這個序列就完全由0組成,那最大數字就是0.

但是這種情況非常奇怪,因為這一串推理根本無法找出最大值究竟是什麼。如果這個序列有確定的長度,比如說有100個數值,那麼我們只需一一過目就能輕易地找出最大值。但這是一個無窮序列,我們沒有辦法遍歷一個無窮序列。除非你的大腦可以輕輕一「瞥」就看遍這個無窮序列。

所以當我們以困惑亦不完美的大腦來面對這個難題時,事實上只有三種選擇:

接受這就是數學運行的方式,跳過這個問題並與之安然相處,繼續研究數學,學著像一個數學家那樣去思考。

認定數學不適合自己,自己也與任何理論的數學無緣。

做點什麼。這通常意味著你會堅持對數學的追求,並成為一名數學構成主義者(constructivist)。

總體而言,構成主義為數學證明樹立了更高的標準。因為在標準數學中,要證明一個對象的存在並不需要明確的「找到」這麼一個數學對象,只需假設不存在這麼一個對象,然後推導出違背這種假設的結論即可。但構成主義則認為,若要證明一個數學對象存在,就必須找到或者「構建」這麼一個對象。

例如,若要證明某些東西存在,就必須給出一個例子,這個例子可以是一個取決於你曾使用過的一些給定的數學數據的描述。這與理解哪些是允許的,哪些不被允許有些關聯。這在布勞威爾(LEJ Brouwer)、海廷(Arend Heyting)和畢肖普(Errett Bishop)時期就已經被非常成功地分析過了。

構成主義如何影響經典數學?

構成主義並非是一項消極的活動,它只是反對一切照舊。畢肖普就曾是這樣一位大師,他能在普通的「經典」數學中指出他認為的「缺陷」,然後通過對這些內容進行重建來消除缺陷。最後,這些陳述就會發生創造性的改變。總體而言,它需要一些新的、有趣的想法來對最初有「缺陷」的材料做出更微妙的、更富有啟發性的處理。

然而,在數學中有許多重要部分的證明顯然是非構成性的,而且真正想要的構成性證明根本無處尋覓。即使是對那些非構成主義的數學家而言,如何找到構成性的證明被認為是一個能引發極大興趣的重大開放性問題。

例如羅斯定理和法爾廷斯定理(羅斯定理證明了西格爾的一個猜想,法爾廷斯定理證明了莫德爾的一個猜想),這兩個定理都斷言,具有一個(或多個)未知數的某些等式(或不等式)最多具有有限多的有理數解。構成主義者希望有一個能夠列出這些解的程序。但是對於羅斯定理和法爾廷斯定理,沒有人知道該如何做到這一點。

不過情況並不像可能的那樣令人不安。對於兩個定理,我們都可以證明存在這樣一個整數,使得給定的等式或不等式的所有解,都能用比這個整數更小的數來表示。但是我們沒有關於這個整數是否存在的構成主義的證明。

我們已經知道關於這兩個定理的解的數量上限,但是要找到這些解則超出了我們的能力範圍。構成主義闡述的正是找到這些解的問題。

構成主義如何影響實用目的的數學

那些並非從事邏輯和基礎數學領域工作的數學家,通常對構成主義採取一種實用主義的態度:他們關注的是那些計算的最終結果,這些結果具有獨立於任何哲學或邏輯系統的意義。

這種方法通常涉及到對理論數學對象的實際計算例子或近似。這基本上是一種實際的「有限主義」(finitism)的態度,有限主義只接受能夠經過有限步構造出來的數學對象,比構成主義更激進,構成主義容許可列舉的無限步。

然而,一般來說,為了能用計算機領域現成的術語來分析一個數學定理,就必須按照等同於構成主義的觀點來分析這個定理,然後從那裡繼續前行。

文:Harvey Friedman(俄亥俄州立大學數學與哲學教授)

原文連結:

https://plus.maths.org/content/constructivists-expert

相關焦點

  • 什麼是實證主義?它如何塑造我們對現實的看法?
    它在時間和空間上都具有同一性和物理完整性,看起來很堅固。如果你拿起椅子並把它移到另一個地方,它仍然會被認為是同一把椅子。諸如此類的分析將椅子識別為除了構成椅子的關係之外還存在的唯一的單元。如果一個人遵循實證主義的傳統(本文將要介紹的概念),一個超然的觀察者可以從椅子的外在和內在外觀的審視中獲得最高的真理和知識。
  • 女性主義|劉霓:社會性別——西方女性主義理論的中心概念
    關鍵詞 社會性別 女性主義 唯物主義 後現代主義一、什麼是社會性別社會性別在英文中是「gender」,這個詞的詞義本身為「性」,英文詞典中,它的第一解釋是指語言學中名詞和代詞的詞性。然而「gender」這個詞作為女性主義理論中的一個概念,它所具有的含義就絕不僅僅是這麼簡單了。
  • 感知主義理論創立者提出的兩個超級哲理:存在和是什麼為什麼?
    感知主義理論創立者提出的兩個超級哲理:存在和是什麼為什麼?一起來看下他是如何具體分析和論述的。一、存在的觀念貝克萊的"存在就是被感知"貌似顛覆了唯物主義觀念,樹立了唯心主義角度,其實,唯心主義和唯物主義有一個共同點,就是認同事物的"在"。
  • 我們銀河系的光暈是由什麼構成的,它又是如何形成的?
    本文參加百家號科學#了不起的天文航天#系列徵文網友提問:「銀河系的光環是有什麼組成的?為什麼它一直不離不棄的環繞在那裡?它又是怎麼到銀河系的?」答:光暈(幾乎)是一個圍繞銀河系的球狀區域,主要組成部分是暗物質(它像聖徒頭邊的散射光,但不是卡通動畫中天使頭上的黃色光環)。暗物質之所以「暗」是因為它不會發出任何電磁輻射,所以暗物質只能通過引力相互作用來研究。
  • 構成我們的物質到底是什麼
    元素周期表上的元素至少在1800年的時間中被當成是構成自然界的全部,不管拿到什麼東西,你會發現這些所有的組成成分都是由元素周期表上的元素構成。元素周期表 這對於化學家來說是一個非常好的結果,世界的構成就是這樣的,構成我們的物質,也就是這些元素。
  • 克服你的完美主義
    完美主義常常被描繪成一種正面特質:「它鞭策我」「它幫助我保持高標準」「若不是完美主義就沒有現在的我」,作為一名專門研究科研人員心理健康的臨床心理學家,這些是我在工作中最常聽到的話。我們最出色的成就總是伴隨著完美主義;許多人認為完美主義是我們成功的支柱之一。但是,這種說法沒有坦言完美主義的代價——它會耗費你的時間、浪費學習機會、幹擾清晰的思路。
  • 認知主義和建構主義
    考生在備考期間,可能會出現各種各種的困惑,今天,我們就一起探討一下,(一)認知主義認知主義認為知識客觀存在的,學習是個體主動地在頭腦內部構建認知結構的過程,不同的心理學家認為,學習者頭腦中建構的認知結構是不同的;是通過頓悟與理解獲得期待。。(二)建構主義1.個體建構主義。
  • 從行為主義、認知主義、建構主義看未來培訓發展趨勢
    近年來,人們對培訓方法的認知在不斷變化,主要有以下三種主張:行為主義教學主張、認知主義教學主張、建構主義教學主張。用友大學校長田駿國非常形象的將這三種不同的教學主張分別用三種不同的隱喻來表示:行為主義——馴獸理論,認知主義——砌牆理論,建構主義——澆花理論。
  • 美媒:美國大選是民族主義與全球主義之戰
    但是,今天的美國民族主義者看到了弗裡德曼所稱讚的那種「全球化」帶來的後果,認定是它掏空了美國的工業核心。不管正確與否,他們關注的是生活和生計在很多情況下也已被掏空的美國公民。於是,一股強勁的貿易保護主義潮流席捲全國,奉行全球主義的精英落荒而逃。
  • 失敗主義與航空航天
    我們將對未來持悲觀態度且持消極作為的狀態稱為消極失敗主義,對未來持悲觀態度但持積極作為的方式稱為積極失敗主義。有的人可能覺得奇怪,對未來持悲觀態度的人為什麼會有積極的作為呢?這就需要從失敗主義的內涵講起了。什麼是失敗主義?認為未來必將失敗。其實,這是很正常的想法。世界上難道有不會滅絕的動物嗎?強者如恐龍,最終也還是滅絕了。世界上難道有不會滅亡的帝國嗎?舞榭歌臺,風流總被雨打風吹去。
  • 太陽到底是什麼構成的,為什麼會自發地進行核聚變?
    太陽是什麼物質組成的?按照目前主流理論「宇宙大爆炸模型」,我們知道,宇宙起源於一次大爆炸。我們要知道,如今所謂的「物質都是由原子構成」,但是原子並非不可再分的粒子,原子是由原子核和電子構成的,而原子核又分為中子和質子。(當然,實際情況遠比這樣複雜,在這裡就不詳細講述了。)質子和中子其實還可以再分,它們是由夸克構成的。而夸克、電子是目前我們已知的不可再分的粒子。
  • 另一種普遍主義:範例的力量
    因此,我將首先談談範例的力量(the force of the example),以及為什麼它在我們這個時代引起了更大的興趣。為了表明它為什麼獲得了這種新的相關性,我將對我們浸身於其中的哲學視域進行一番概括的鳥瞰。然後,在最後一部分,我將討論這樣的問題,在我看來,這個問題提出了最困難的挑戰:在什麼基礎上,範例具有超越其產生環境的能力?
  • 陳嘉映談普遍主義與相對主義:我們要如何理解他者
    相對主義在哲學和一般話語中總是被當作負面的東西,一說到它就說我們不要陷入相對主義的泥淖,而克服相對主義一般被想成是要確立絕對的標準或者上升到普遍性。而關於普遍主義則到處都是,我挑了一個叫漢斯·昆的基督教神學家,看看普遍主義在他的論述中是怎麼體現的。
  • 從熱力學的角度,探討利他主義
    薛丁格的行動呼籲以及激勵了他的同行們對生命的基本構成進行各個尺度的觀察,從微小的DNA分子到成群的魚兒還有蟻丘的構造。我在哈佛大學的研究小組專注於對利他主義、或者說為什麼生物能為了共同利益而犧牲自己這一現象進行研究。但我們不是從心理學或道德哲學的角度出發,而是從熱力學的角度來處理這個問題。我們能否通過將人類當作原子和分子,或者將社會和種群當作固體、液體或氣體來解釋利他主義?
  • 女性為什麼愛買買買?當消費主義成了單一的主流價值觀
    雖然這個問題的預設是「女性更容易被消費主義影響」,這也許是事實,但同時也可能是一種「認識不正義」。 女人為什麼愛買買買 女性本來就是營銷的主要目標,因為女性擔任著家庭中採購的職責,她們往往要為全家人買東西,而女性也要孕育下一代,影響她們等於發掘更多的消費市場。
  • 什麼是實用主義哲學?
    我是子曰千年今天我們聊一下哲學史當中的實用主義哲學)在經驗主義、功利主義和笛卡爾理性哲學、康德、黑格爾的唯心主義之間,前者認為人和世界只是一個機械的和生物的過程的一步分;後者認為則認為以人為中心。從而經驗主義者和科學家們對理性主義和衛星主義哲學幾乎持否定態度,認為他們缺乏客觀的證據。然而從理性主義和唯心主義的觀點來看,科學威脅著道德和宗教的信念及人類目的的意識。
  • 20世紀的藝術-至上主義-卡西米爾·馬列維奇
    觀眾們在這幅畫前紛紛嘆息,「我們所鍾愛的一切都失去了……我們面前,除了一個白底上的黑方塊以外一無所有!」不過在馬列維奇看來,畫中所呈現的並非是一個空洞的方形。它的空無一物恰恰是它的充實之處;它孕育著豐富的意義。他認為,觀眾之所以對該畫難以接受,是因為傳統繪畫使大眾習慣於那些自然物像的再現的作品,而沒有理解藝術品的真正價值。
  • 什麼時候用經驗主義,什麼時候用理性主義?
    一邊是所謂的觀念知識,它們不需要經驗的驗證,比如數學。數學的知識不需要做實驗來驗證,只需要理性思考就能夠獲得。比如勾股定理,你運用邏輯推理就能夠發現它、理解它,不需要去測量一百個三角形的邊長來核實這個定理。可以講,數學是人類知識體系和認識過程的一個特例。
  • 到底什麼是反物質?我們該如何研究反物質?為什麼它沒有毀掉我們
    雖然聽起來可能像科幻小說,但反物質確實存在於我們的日常生活中。它在現代醫學界被普遍使用。而且你家廚房裡的香蕉也能產生反物質。(稍後會再次提到這一點。)反物質是物理學界最大的謎團之一。當一個反物質粒子遇上一個與它相反的正常物質的粒子時,它們會「同歸於盡」並爆發出巨大能量。宇宙大爆炸之時,正常物質(即構成你和我等世間萬物的東西)和反物質本應該是被等量創造出來的。
  • 坤鵬論:科學主義和戲劇主義
    典型的語言表達是:「這是什麼」或「這不是什麼」。終極表現是:與「符號邏輯」相關聯的各種思維方式。戲劇主義:與科學主義相對,視語言為象徵行為,將注意力集中於語言的表態或勸勉功能。表態功能覆蓋了「抱怨、擔心、感激等(各種的態度)的表達」;勸勉功能則包括「命令或請求」,以及維持人類社會「合作與競爭進程」的其他需要。