教育部課題|國外優秀本科數學教材評價研究——通往複分析世界的捷徑

2021-02-15 復旦大學外國教材中心

書評：

本書十分有趣，尤其是證明部分。有關Banach代數的章節像一顆璀璨奪目的寶石；這部分結合了代數、分析與拓撲，同時也很好地解釋了這三個領域是如何互相作用的。Walter Rudin於1966年寫成本書，意在表明實分析與複分析應當一起學習，而不是把它們當成兩門課，同時希望更現代化地闡述它們。五十年過後，本書仍未過時。

本書的前三分之一是關於測度與積分的。表述基於伴有σ代數的抽象空間上的測度。這部分包括了對Hilbert空間與Banach空間的簡要介紹，也包含了之後會在複分析部分的證明中用到的內容。這也是本書中唯一處理比實軸與複平面更抽象的空間的部分，然而如果我們只討論實軸的情況，這部分也不算很難。這部分包括了關於（測度的）微分的一章與關於乘積空間（即Fubini定理）的一章。本書的其餘部分是關於複平面上的分析。它以關於傅立葉變換的簡短的一章開始，再介紹複分析。雖然這部分定理的證明十分傳統，但結合本書之前所敘述的內容也能得到非常巧妙的證明。傳統的部分以Picard小定理結束。本書的最後四分之一包含有關複分析更深入內容的十分簡短的幾章；包括Hardy空間，Banach代數，全純Fourier變換，和對多項式一致收斂極限的刻畫（Mergelyan定理）。

本書的教學方法並不是很具體；實例非常少（然而很多習題則需要處理特定的函數）。同時本書也不像其他教材，並不包含詳細講述級數與積分和一些特殊的函數的章節。但它並沒有過於抽象；它本質上還是複分析，並不對（與複平面相比）更一般的空間加以過多的討論。書中的證明被以一種更普適的角度給出，並伴有很強的泛函分析的味道。例如Hahn-Banach定理的廣泛應用以及Urysohn引理與Tietze延拓定理的使用。

本書的闡述往往過於直接，缺乏對學習這些內容原因的討論，因而廣受批評，這種批評是準確的。你並不一定需要很多背景知識來閱讀這本書，但它卻包含了很多沒有多少上下文的漂亮的證明。例如，關於譜的討論像是無中生有的，非常神秘，除非你很熟悉線性代數和特徵值。

這本書適用於一年級研究生，並成功應用於很多一年級研究生的課程中，同時我認為這確實是它的正確定位。對這本書感興趣的本科生在開始學習這本書之前，最好先讀一本更傳統的複分析教材，如Bak與Newman的《Complex Analysis 》或Ahlfors的更高深的《Complex Analysis》，以及一本介紹Lebesgue積分的教材（我喜歡Boas的《A Primer of Real Functions》）。

點評人：Allen Stenger(Missouri Journal of Mathematical Sciences編輯，專注於數論和經典分析領域)

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