引例
在平面直角坐標系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是正方形．
如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．至於具體求點坐標，以C1為例，構造△AMB≌△C1NA，即可求得C1坐標．至於像C5、C6這兩個點的坐標，不難發現，C5是AC3或BC1的中點，C6是BC2或AC4的中點．
題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．
問題與方法
作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質，因此坐標系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據題目給定的已知條件選擇恰當的判定方法，即可確定所求的點坐標．
常用處理方法
思路1：從判定出發，若已知菱形，則加有一個角為直角或對角線相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．
思路2：構造三垂直全等
若條件並未給關於四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．
分類與探究
從未知量的角度來說，正方形可以有4個「未知量」，因其點坐標滿足4個等量關係，考慮對角線性質，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．
比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現不存在的情況，即我們所說的未知量小於方程個數，可能無解．
從動點角度來說，關於正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．
不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！
1.雙動點類
正方形的存在性問題在中考中出現得並不多，卻依然可以分「雙動點」、「三動點」、「四動點」等不用類型問題．對於「兩定兩動」問題，通常構造等腰直角三角形求第3點．
例1.（2015畢節中考題，有刪減）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A（-1，0），
B（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在過A、B兩點的拋物線，其頂點P關於x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）拋物線：y=x^2-2x-3；
（2）已知A（-1，0）、B（3，0），故構造以AB為斜邊的等腰直角△APB，如下：
若四邊形APBQ是正方形，易得P點坐標為（1，2）或（1，-2），
當P點坐標為（1，2）時，易得拋物線解析式為y=-1/2（x-1）^2 +2；
當P點坐標為（1，-2）時，易得拋物線解析式為y=1/2（x-1）^2 - 2．
綜上所述，拋物線解析式為y=-1/2（x-1）+2或y=1/2（x-1）^2 -2．
【小結】看到兩個定點，不管題目如何描述第3個點的位置，均可通過構造等腰直角三角形確定第3個點，再求得第4個點．
例2.（2012通遼中考題）如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線y=ax2-ax-2經過點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由．
【解析】（1）C（3，1）；
（2）拋物線：y=1/2x2-1/2x-2；
（3）考慮A、B、P構成等腰直角三角形且∠B為直角，故可作出點P如下：
構造三垂直全等：△AMB≌△BNP，即可求得P點坐標為（-1，-1），將點P代入拋物線解析式，成立，即點P在拋物線上．根據點P構造點Q，通過點的平移易得點Q坐標為（-2，1），代入拋物線解析式，成立，即點Q也在拋物線上，故存在，點P坐標為（-1，-1），點Q坐標為（-2，1）．
【小結】本題數據設計得巧妙，因為A、B為已知點，故由A、B可確定點P且恰好在拋物線上，由A、B、P確定的點D恰好也在拋物線上，故存在這樣的一組P、Q，當然若適當調整數據，則答案完全可以變成不存在．
2.三動點類
若出現四動點，則通常四邊形具有一定的特殊性，從已知條件出發，分析還需滿足的其他條件，通常列關於邊或對角線方程得解．
例3.（2017雅安中考題）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖像經過點A（1，0），B（-3，0），與y軸交於點C，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸相交於點E，連接BD．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點P在直線BD上，當PE=PC時，求點P的坐標．
（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸於F，點M為x軸上一動點，點N為直線PF上一動點，G為拋物線上一動點，當以點F、N、G、M四點為頂點的四邊形為正方形時，求點M的坐標．
例4.（2017棗莊中考題，有刪減）
如圖，拋物線y=-1/2x2+bx+c與x軸交於點A和點B，與y軸交於點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交於點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標．
思路總結：像這樣的三動點問題，通常四邊形的邊或對角線總有一個與坐標軸平行，可採用鄰邊相等或對角線相等確定正方形．若邊與坐標軸平行，則對角線與x軸夾角為45°，反之亦成立，可求得對角線或邊的解析式，聯立方程求得點坐標，也不失為一種簡便方法．
3.四動點類
當有4個動點時，其實思路與三動點無異，只是計算略難略難。
例5（2018南充中考題，有刪減）如圖，拋物線頂點P（1，4），與y軸交於點C（0，3），與x軸交於點A，B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若M、N為拋物線上兩個動點，分別過點M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為D、E．是否存在點M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．
【小結】其實只要能將計算進行下去，在已知矩形的前提下，無論選邊還是選對角線，都能解決問題．思路1中考慮M、N兩個點均未知，設一點，求一點，再代入解析式求解．思路2中充分利用該四邊形位置來求邊長．
反思總結：
構造三垂直全等的思路僅適合已知「兩定兩動」的情形，若有3個或4個動點，則考慮從矩形的判定出發，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關係．
通過此題，我們不難歸納存在性題目的解題套路：
1.分析特徵：分析背景圖形中的定點、定線及不變量（共有量）等特徵，結合圖形間的對應關係及不變特徵考慮分類。
2.畫圖求解：
①目標三角形確定時，構造三垂直全等或根據正方形的判定，藉助邊相等、角相等列方程求解；
②目標三角形不確定時，先從對應關係入手，再結合背景中的不變特徵分析，綜合考慮邊、角的對應相等和不變特徵後列方程求解。
3.結果驗證：回歸點的運動範圍，畫圖或推理，驗證結果。
(文章部分內容引用劉嶽 有一點數學的文章，若不當留言，及時刪除