歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，在菱形的各種幾何計算題型中，最常見的是菱形中出現特殊角，如60或120角，這時的幾何計算存在一定的規律性，今天我們通過幾道例題，來說一說當菱形出現特殊角時，該如何利用邊角關係進行幾何計算。
【知識梳理】
1.若菱形有一個內角為60或120，則對角線分成的三角形中，有兩個等邊三角形、兩個等腰三角形、四個含30角的直角三角形，如圖：
2.幾何計算中需記憶的幾個特殊圖形邊與邊倍數關係
【典型例題】
例1.如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=60°，則對角線AC的長是______ .
【解析】
∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=6.∵∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=BC=6.
例2.如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為√3cm，則對角線AC長和BD長之比為_____
【解析】
設AC與BD的交點為O，根據周長可得AB=BC=2，根據AE=√3可得BE=1，則△ABC為等邊三角形，則AC=2，BO=√3，即BD=2√3，即AC:BD=1：√3..
例3.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，連接MC，將菱形ABCD翻折，使點A落在線段CM上的點E處，摺痕交AB於點N，則線段EC的長為______．
【解析】利用摺疊性質和菱形性質解題。
解：如圖所示：過點M作MF⊥DC於點F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD/2=1/2，由勾股定理可得FM=√3/2，MC=√7，∴EC=MC﹣ME=√7﹣1．
例4.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E、F分別在邊AB、BC上，△BEF與△GEF關於直線EF對稱，點B的對稱點是點G，且點G在邊AD上．若EG⊥AC，AB=6√2，則FG的長為______．
【解析】首先證明△ABC，△ADC都是等邊三角形，再證明FG是菱形的高，根據三角形面積公式即可解題．
解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD是等邊三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，∴△ABC的面積=BC×FG÷2，（√3/4）×（6√2）*2=（6√2）×FG÷2，∴FG=3√6．
例5.如圖，四邊形ABCD與四邊形AECF都是菱形，點E，F在BD上，已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，則AB：AE的值為______ .
【解析】利用菱形性質及含特殊角的直角三角形邊角關係解題.
解：∵四邊形ABCD與AECF都是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=30°，∴∠ABE=30°，∠BAE=45°.作EH⊥AB於點H，可設AE=√2，∴在等腰直角△AEH中，AH=EH=1，；在直角△中，BH=√3，.∴AB=√+1，. ∴AB：AE=（√3+1）：√2=（√6+√2）/2.
例6.如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，則PG：PC的值為____
【解析】利用菱形性質、等腰三角形「三線合一」性質及三角形全等解題。
解：如圖，延長GP交DC於點H，∵P是線段DF的中點，∴FP=DP，由題意可知DC∥GF，∴∠GFP=∠HDP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∴CG=CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三線合一）又∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠GCP=60°，∴PG：PC=√3.
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