建立:積分與微分互逆的一個重要等式

2021-01-08 電子通信和數學

如下公式對學過微積分夥伴揮一揮衣袖就可以知道結果,就是這樣一個公式建立了積分與導數之間的聯繫,它是如此的重要,最終說明了積分與微分的過程是互逆的。

首先f(x)在區間上是連續的,這一點是必須要滿足的

積分形式

微分形式

它告訴我們對每個連續函數f,微分方程dF/dX=f(X)有一個解。它斷言每個連續函數f是另外一個函數的導數。這正是

它申明每個連續函數必有一個反導數(積分函數),最終說明了積分和微分的過程是互逆的。

對上述公式的嚴格證明教材上已經表現的淋漓盡致,所以本篇僅從幾何上來描述它的直觀意義。

幾何解釋:

f從a到x的積分是夾在f的圖形及從a到x的x軸之間的區域的面積。設想公共汽車擋風玻璃上被清洗雨滴的刷掃過的區域。當雨刷移動通過x時,被清洗區域的速度正是垂直刷的高度f(X)

f在連接x和x+h的區間上取一個值,即對於這個區間的某個數c(中值定理)

當h趨於0時,f(c)如何變化呢?h趨於0時,端點x+h趨於x,推動c在它的前面像推動套在金屬絲上的一粒珠子。

於是c趨於x,因為f在x連續,f(c)趨於f(x)

於是我們就有非常直觀的結論

最終建立了積分與導數之間的聯繫,說明了積分與微分的過程是互逆的。

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