如下公式對學過微積分夥伴揮一揮衣袖就可以知道結果,就是這樣一個公式建立了積分與導數之間的聯繫,它是如此的重要,最終說明了積分與微分的過程是互逆的。
首先f(x)在區間上是連續的,這一點是必須要滿足的
積分形式
微分形式
它告訴我們對每個連續函數f,微分方程dF/dX=f(X)有一個解。它斷言每個連續函數f是另外一個函數的導數。這正是
它申明每個連續函數必有一個反導數(積分函數),最終說明了積分和微分的過程是互逆的。
對上述公式的嚴格證明教材上已經表現的淋漓盡致,所以本篇僅從幾何上來描述它的直觀意義。
幾何解釋:
f從a到x的積分是夾在f的圖形及從a到x的x軸之間的區域的面積。設想公共汽車擋風玻璃上被清洗雨滴的刷掃過的區域。當雨刷移動通過x時,被清洗區域的速度正是垂直刷的高度f(X)
f在連接x和x+h的區間上取一個值,即對於這個區間的某個數c(中值定理)
當h趨於0時,f(c)如何變化呢?h趨於0時,端點x+h趨於x,推動c在它的前面像推動套在金屬絲上的一粒珠子。
於是c趨於x,因為f在x連續,f(c)趨於f(x)
於是我們就有非常直觀的結論
最終建立了積分與導數之間的聯繫,說明了積分與微分的過程是互逆的。